Thermodynamik

1 · Begriffe und Systeme

Wärmezustand, Gleichgewicht und die Sprache der Thermodynamik

Skript S. 1–3

Definition

Allgemeine Energielehre: Der erste Hauptsatz bilanziert Energie; der zweite Hauptsatz beschreibt Richtung und Grenzen von Energieumwandlungen. Die klassische Thermodynamik arbeitet mit makroskopisch messbaren Größen.

Wärmezustand und Zustandsgröße

Definition

Der Zustand wird durch physikalische Eigenschaften wie Druck, Temperatur und spezifisches Volumen beschrieben. Eine Zustandsgröße hängt vom Zustand ab; ihre Änderung ist unabhängig vom durchlaufenen Weg. Wärme und Arbeit sind Prozessgrößen.

Erstes Gleichgewichtspostulat

Definition

Zwei Körper in Kontakt nähern sich einem thermischen Gleichgewicht. Nach dessen Erreichen findet ohne äußeren Eingriff keine messbare Zustandsänderung mehr statt.

Zweites Gleichgewichtspostulat

Definition

Stehen A und B sowie B und C im thermischen Gleichgewicht, so stehen auch A und C miteinander im thermischen Gleichgewicht. Es begründet den Vergleich von Temperaturen.

Temperatur

Definition

Systeme im thermischen Gleichgewicht haben dieselbe Temperatur. Ein Thermometer wird mit dem Messobjekt ins thermische Gleichgewicht gebracht. Für Quotienten, Logarithmen und Gasgleichungen wird die absolute Temperatur T in Kelvin verwendet.

Geschlossen, offen, abgeschlossen

Definition

Geschlossen: kein Stoffaustausch, Energieaustausch möglich. Offen: Stoff kann die Systemgrenze überschreiten. Abgeschlossen bzw. isoliert: weder Stoff- noch Energieaustausch mit der Umgebung.

Ruhendes und bewegtes System

Definition

Bei einem bewegten System werden Änderungen der kinetischen und potenziellen Energie zusätzlich berücksichtigt. Ein ruhendes System hat keine solche äußere Energieänderung.

Homogener Stoff

Definition

Chemische Zusammensetzung und physikalische Eigenschaften sind im gesamten betrachteten System gleich. Bei einer einphasigen, einfachen Substanz genügen zwei unabhängige Zustandsgrößen zur Zustandsbeschreibung.

Extensiv und spezifisch

Definition

Extensive Größen wie U, V, S sind proportional zur Stoffmenge und additiv. Spezifische Größen beziehen sich auf 1 kg; molare Größen auf 1 kmol. Ein Punkt über einer Größe bezeichnet eine Größe pro Zeit.

Masse, Volumen und Dichte

Formel

v=\frac{V}{m},\qquad \rho=\frac{m}{V}=\frac{1}{v}

u=\frac{U}{m},\quad h=\frac{H}{m},\quad s=\frac{S}{m},\quad q_{12}=\frac{Q_{12}}{m},\quad w_{12}=\frac{W_{12}}{m}

Einheiten: v in m³/kg, ρ in kg/m³, u/h/q/w in kJ/kg, s in kJ/(kg·K).

2 · Energie und erster Hauptsatz

Vorzeichen, Arbeit, Wärme und Energiebilanzen

Skript S. 3–11

Erster Hauptsatz

Definition

Energie bleibt erhalten. In einem abgeschlossenen System bleibt die Summe aller Energiearten im Zeitverlauf konstant. Energie kann ihre Form wechseln.

Vorzeichenvereinbarung

Definition

Q>0,\ W>0:\ \text{Zufuhr zum System}

Q<0,\ W<0:\ \text{Abgabe durch das System}

Diese Konvention gilt für das ganze Dokument. Gewonnene Arbeit wird bei Bedarf als positiver Betrag |W| angegeben.

Arbeit als Kraft mal Weg

Formel

W_{12}=\int_1^2\boldsymbol F\!\cdot\!\mathrm d\boldsymbol r

Bei eindimensionaler Bewegung entspricht dies ∫F dr. Arbeit hat die Einheit J = N·m.

Äußere Energie und äußere Arbeit

Formel

E_a=E_{\mathrm{kin}}+E_{\mathrm{pot}}=\frac{m c^2}{2}+mgz

W_{a,12}=E_{a,2}-E_{a,1}=\frac m2(c_2^2-c_1^2)+mg(z_2-z_1)

w_{a,12}=\frac{c_2^2-c_1^2}{2}+g(z_2-z_1)

c bezeichnet die Geschwindigkeit, z die Höhe. Bei Verwendung von m/s und m entsteht J/kg; für kJ/kg durch 1000 teilen.

Volumenänderungsarbeit

Formel

\mathrm dV=A\,\mathrm dr,\qquad \delta W_v=-p\,\mathrm dV

W_{v,12}=-\int_{V_1}^{V_2}p\,\mathrm dV,\qquad w_{v,12}=-\int_{v_1}^{v_2}p\,\mathrm dv

Quasistatische Volumenänderung mit dem wirksamen Grenzdruck p. Expansion: dV > 0 und Wv < 0. Kompression: dV < 0 und Wv > 0.

Reibungsarbeit und Gesamtarbeit

Formel

W_{R,12}=\int_1^2 F_R\,\mathrm dr\ge0

W_{12}=W_{v,12}+W_{R,12}=-\int_1^2p\,\mathrm dV+|W_{R,12}|

W_{12}^{*}=W_{12}+W_{a,12}

Reibungsarbeit ist dissipativ und nicht negativ; bei einem reversiblen Prozess ist sie null. Der Stern kennzeichnet hier die Einbeziehung äußerer Energieänderungen.

Wärme und innere Energie

Definition

Wärme Q ist Energieübertragung aufgrund einer Temperaturdifferenz. Die innere Energie U umfasst mikroskopische Energieformen. Ihr Nullpunkt ist wählbar; für die Bilanz sind Unterschiede ΔU = U₂ − U₁ maßgebend.

Geschlossenes, ruhendes System

Formel

Q_{12}+W_{12}=U_2-U_1

Q_{12}-\int_1^2p\,\mathrm dV+|W_{R,12}|=U_2-U_1

\delta Q=\mathrm dU+p\,\mathrm dV\quad\text{(reversibel, nur Volumenarbeit)}

Die Bilanz pro kg lautet q₁₂ + w₁₂ = u₂ − u₁.

Geschlossenes, bewegtes System

Formel

Q_{12}+W_{12}^{*}=\Delta U+\frac m2(c_2^2-c_1^2)+mg(z_2-z_1)

Alle Energiebeiträge mit einheitlichen Einheiten einsetzen.

Adiabater Vorgang

Definition

Q_{12}=0,\qquad W_{12}=U_2-U_1\quad\text{(ruhend)}

W_{12}^{*}=\Delta U+\Delta E_a\quad\text{(bewegt)}

Adiabatisch bedeutet wärmedicht. Ein adiabater Prozess ist nur bei Reversibilität zugleich isentrop.

Offenes System: gespeicherte und mitgeführte Energie

Formel

Q+W=\Delta U+\Delta E_a-m(u+e_a)

Q+W^{\prime}=\Delta U+\Delta E_a-m(h+e_a)

h=u+pv,\qquad e_a=\frac{c^2}{2}+gz

Für eine eintretende Masse m. W enthält die Einschubarbeit; W′ enthält sie nicht. Die Strömungsenthalpie h umfasst u und pv.

Allgemeine Energiebilanz mit Stoffströmen

Formel

\dot Q+P=\frac{\mathrm d}{\mathrm d\tau}(U+E_a)-\sum_i\dot m_i\left(h_i+\frac{c_i^2}{2}+gz_i\right)

P=\frac{W^{\prime}}{\Delta\tau},\quad\dot Q=\frac{Q}{\Delta\tau},\quad\dot m=\frac{m}{\Delta\tau}

In dieser Schreibweise sind eintretende Massenströme positiv, austretende negativ. Stationäre Bilanzen mit getrennten Ein- und Austrittssummen stehen in Kapitel 12.

3 · Zustandsgleichungen und Wärmekapazität

Thermische und kalorische Zustandsbeschreibung

Skript S. 12–24

Thermische Zustandsgleichung und totale Differentiale

Formel

p=p(v,T),\quad v=v(p,T),\quad T=T(p,v)

\mathrm dT=\left(\frac{\partial T}{\partial v}\right)_p\mathrm dv+\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_v\mathrm dp

\mathrm dp=\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_T\mathrm dv+\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_v\mathrm dT

\mathrm dv=\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p\mathrm dT+\left(\frac{\partial v}{\partial p}\right)_T\mathrm dp

Der Index an einer partiellen Ableitung nennt die konstant gehaltene Größe. Die Differentialform ist exakt; ein Ausdruck mit endlichen Differenzen und lokalen Ableitungen ist eine Näherung.

Celsius und Kelvin; Gay-Lussac

Formel

\frac{T}{\mathrm K}=\frac{t}{^{\circ}\mathrm C}+273{,}15

v=v_0\frac{273{,}15+t/^{\circ}\mathrm C}{273{,}15}\quad(p=\mathrm{konst.})

\frac{v_2}{v_1}=\frac{T_2}{T_1}\quad(p=\mathrm{konst.})

v₀ bezieht sich auf 0 °C bei demselben Druck. Temperaturdifferenzen in K und °C haben denselben Zahlenwert.

Boyle-Mariotte und ideales Gas

Formel

pv=\mathrm{konst.}\quad(T=\mathrm{konst.})

pv=RT,\qquad pV=mRT,\qquad\frac{p_1v_1}{T_1}=\frac{p_2v_2}{T_2}=R

Ein ideales Gas erfüllt diese thermische Zustandsgleichung. Guter Näherungsfall für verdünnte Gase; absolute Drücke und Kelvin verwenden.

Realfaktor

Definition

pv=zRT,\qquad z=\frac{pv}{RT}

z = 1 entspricht idealem Gasverhalten. Hier bedeutet z den Realfaktor, in anderen Kapiteln auch Höhe oder Verflüssigungsausbeute.

Molmenge, Molvolumen und universelle Gaskonstante

Formel

n=\frac mM,\qquad V_M=Mv,\qquad\overline R=MR

pV_M=\overline R T,\qquad pV=n\overline R T

\overline R\approx8{,}314\ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kmol\,K}}=8314\ \frac{\mathrm J}{\mathrm{kmol\,K}}

M in kg/kmol und n in kmol. Das alte Skript verwendet „Mol“ häufig im Sinn von Kilomol. Nach Avogadro enthalten gleiche Volumina bei gleichem p und T gleich viele Teilchen.

Normkubikmeter

Definition

T_n=273{,}15\ \mathrm K,\qquad p_n\approx1{,}013\ \mathrm{bar}

V=V_n\frac{T}{T_n}\frac{p_n}{p},\qquad V_n=V\frac{T_n}{T}\frac{p}{p_n}

V_{M,n}=\frac{\overline R T_n}{p_n}\approx22{,}4\ \frac{\mathrm m^3}{\mathrm{kmol}},\qquad n=\frac{V_n}{V_{M,n}},\quad m=Mn

Normbedingungen gemäß Skript. Ein Normkubikmeter beschreibt eine Gasmenge; das tatsächliche Volumen hängt von p und T ab.

Kalorische Zustandsgleichung

Formel

u=u(T,v),\qquad\mathrm du=\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_v\mathrm dT+\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_T\mathrm dv

\text{ideales Gas: }u=u(T),\quad\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_T=0,\quad\mathrm du=c_v(T)\,\mathrm dT

u_2-u_1=\int_{T_1}^{T_2}c_v(T)\,\mathrm dT\ =c_v(T_2-T_1)\quad(c_v=\mathrm{konst.})

Der Gay-Lussac-Versuch bei Q = W = 0 ergibt ΔU = 0. Für ideale Gase ist u unabhängig vom Druck bzw. Volumen. Bei realen Gasen ist die zweite Ableitung im Allgemeinen nicht null.

Definition der spezifischen Wärmekapazität

Definition

c=\frac{\delta Q}{m\,\mathrm dT}=\frac{\delta q}{\mathrm dT}

c_v=\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_v,\qquad c_p=\left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_p

\delta q_v=\mathrm du=c_v\,\mathrm dT,\qquad\delta q_p=\mathrm dh=c_p\,\mathrm dT

c ist prozessabhängig. cᵥ und cₚ sind Stoffeigenschaften für die jeweiligen Randbedingungen. Einheit kJ/(kg·K).

Mayer-Beziehung, molare Wärmekapazitäten und κ

Formel

c_p-c_v=R,\quad C_p-C_v=\overline R\qquad\text{(ideales Gas)}

C_p=Mc_p,\quad C_v=Mc_v,\quad\kappa=\frac{c_p}{c_v}=\frac{C_p}{C_v}

c_v=\frac{R}{\kappa-1},\quad c_p=\frac{\kappa R}{\kappa-1}

C_v=\frac{\overline R}{\kappa-1},\quad C_p=\frac{\kappa\overline R}{\kappa-1}

κ heißt im Skript Adiabatenexponent. Die Potenzgesetze für isentrope Prozesse setzen zusätzlich konstante Wärmekapazitäten voraus.

Wärmekapazitätsdifferenz realer Stoffe

Formel

c_p-c_v=\left[p+\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_T\right]\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p

c_p-c_v=T\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_v\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p

Die zweite Form ergibt sich mit der in Kapitel 7 angegebenen Ableitung der inneren Energie.

Kinetische Gastheorie: einatomiges ideales Gas

Formel

\overline{c^2}=\frac{3\overline RT}{M}=3RT,\qquad E_{\mathrm{kin}}=\frac12m\overline{c^2}

U_M=\frac32\overline RT,\quad C_v=\frac32\overline R\approx12{,}47\ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kmol\,K}}

C_p=\frac52\overline R\approx20{,}78\ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kmol\,K}},\qquad\kappa=\frac53

Translationsenergie; bei mehratomigen Gasen kommen Rotation und Schwingung hinzu. Näherungswert für zweiatomige Gase bei moderaten Temperaturen: κ ≈ 1,4.

Mittlere Wärmekapazität

Formel

\overline c_{12}=\frac{1}{T_2-T_1}\int_{T_1}^{T_2}c(T)\,\mathrm dT

u_2-u_1=\overline c_{v,12}(T_2-T_1)

[c]_{t_1}^{t_2}=\frac{[c]_0^{t_2}t_2-[c]_0^{t_1}t_1}{t_2-t_1}

Die letzte Beziehung dient zur Umrechnung von Tabellenmittelwerten, die sich jeweils auf 0 °C beziehen. Gilt entsprechend für cₚ und cᵥ.

4 · Ideale Gasgemische

Dalton, Zusammensetzung und Gemischeigenschaften

Skript S. 24–28

Partialdruck und Partialvolumen

Definition

Partialdruck pᵢ: Druck, den eine Komponente allein im Gesamtvolumen bei Gemischtemperatur hätte. Partialvolumen Vᵢ: Volumen der Komponente allein bei Gemischdruck und Gemischtemperatur.

Daltonsches Gesetz

Formel

p=\sum_i p_i,\qquad p_iV=m_iR_iT=n_i\overline RT

pV_i=m_iR_iT,\qquad p_i=p\frac{V_i}{V}

Alle Gase besitzen im Gemisch dieselbe Temperatur und dasselbe Gesamtvolumen.

Raum-, Mol- und Massenanteile

Formel

r_i=\frac{V_i}{V}=\frac{n_i}{n}=\frac{p_i}{p},\qquad g_i=\frac{m_i}{m}

\sum_i r_i=1,\quad\sum_i g_i=1,\quad m=\sum_i m_i,\quad n=\sum_i n_i

\frac{g_i}{g_j}=\frac{r_iM_i}{r_jM_j},\qquad g_i=\frac{r_iM_i}{\sum_jr_jM_j}

r_i=\frac{g_i/M_i}{\sum_jg_j/M_j}

Raumanteile entsprechen nur für ideale Gase den Molanteilen. g ist die Notation des Skripts für den Massenanteil.

Molmasse, Gaskonstante und Zustandsgleichung des Gemisches

Formel

M_g=\sum_i r_iM_i=\frac{1}{\sum_i g_i/M_i}

R_g=\sum_i g_iR_i=\frac{\overline R}{M_g},\qquad n=\frac{m}{M_g}

pV=mR_gT=n\overline RT

Bei gleicher Temperatur sind Massengewichte für spezifische und Molanteile für molare Größen zu verwenden.

Wärmekapazitäten des Gemisches

Formel

c_{v,g}=\sum_i g_i c_{v,i},\qquad c_{p,g}=\sum_i g_i c_{p,i}

C_{v,g}=\sum_i r_i C_{v,i},\qquad C_{p,g}=\sum_i r_i C_{p,i}

Ideales Gasgemisch ohne chemische Reaktion.

5 · Zustandsänderungen idealer Gase

Alle fünf Grundprozesse auf einen Blick

Skript S. 28–36

Gemeinsame Voraussetzungen

Definition

Die folgenden Wärme- und Volumenarbeitsformeln gelten für ein geschlossenes, ruhendes, reibungsfreies ideales Gas mit konstanten Stoffwerten. Alle Größen sind auf 1 kg bezogen; für m kg mit m multiplizieren. Technische Arbeit siehe Kapitel 10.

Isochor: v = konstant

Formel

\frac{p_2}{p_1}=\frac{T_2}{T_1},\quad w_v=0,\quad q_{12}=\Delta u=c_v(T_2-T_1)

T_2-T_1=\frac{q_{12}}{c_v},\qquad\frac{p_2-p_1}{p_1}=\frac{q_{12}}{c_vT_1}

Das Volumen bleibt konstant; zugeführte Wärme erhöht die innere Energie.

Isobar: p = konstant

Formel

\frac{v_2}{v_1}=\frac{T_2}{T_1},\quad q_{12}=c_p(T_2-T_1)=h_2-h_1

w_v=-p(v_2-v_1)=-R(T_2-T_1)

q_{12}=\Delta u+p(v_2-v_1)

Ein Teil der Wärme erhöht u, der andere deckt die Expansionsarbeit.

Isotherm: T = konstant

Formel

p_1v_1=p_2v_2=RT,\quad\frac{p_2}{p_1}=\frac{v_1}{v_2},\quad\Delta u=0

w_v=-RT\ln\frac{v_2}{v_1}=RT\ln\frac{p_2}{p_1}=p_1v_1\ln\frac{p_2}{p_1}

q_{12}=-w_v=RT\ln\frac{v_2}{v_1}

Die Isotherme ist im p-v-Diagramm eine gleichseitige Hyperbel.

Reversible Adiabate bzw. Isentrope

Formel

q_{12}=0,\quad p v^{\kappa}=\mathrm{konst.},\quad T v^{\kappa-1}=\mathrm{konst.}

\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{(\kappa-1)/\kappa}=\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^{\kappa-1}

\frac{p_2}{p_1}=\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^{\kappa}

w_v=c_v(T_2-T_1)=\frac{R(T_2-T_1)}{\kappa-1}

w_v=\frac{RT_1}{\kappa-1}\left[\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{(\kappa-1)/\kappa}-1\right]

Die Arbeit stammt aus der inneren Energie. Expansion kühlt das Gas ab. Die Adiabate verläuft im selben Zustand steiler als die Isotherme.

Differentialform der idealen Isentropen

Formel

\mathrm d(pV)=mR\,\mathrm dT,\qquad \mathrm dU=\frac{c_v}{R}\,\mathrm d(pV)

\mathrm dU+p\,\mathrm dV=0,\qquad V\,\mathrm dp+\kappa p\,\mathrm dV=0

Die Integration ergibt pVᵏ = konstant.

Polytrope: Zustandsgesetze

Formel

pv^n=\mathrm{konst.},\qquad\frac{p_2}{p_1}=\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^n

\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{(n-1)/n}=\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^{n-1}

np\,\mathrm dv+v\,\mathrm dp=0,\quad(n-1)p\,\mathrm dv=-R\,\mathrm dT

n ist der Polytropenexponent und im Allgemeinen kein Stoffwert. Die Druckform mit 1/n setzt n ≠ 0 voraus.

Polytrope: Wärmekapazität und Wärme

Formel

c_n=c_v-\frac{R}{n-1}=c_v\frac{n-\kappa}{n-1}

q_{12}=c_n(T_2-T_1)=c_v\frac{n-\kappa}{n-1}(T_2-T_1)

Für n ≠ 1. Bei 1 < n < κ ist cₙ negativ: Wärme kann trotz sinkender Gastemperatur zugeführt werden.

Polytrope: Volumenänderungsarbeit

Formel

w_v=\frac{R(T_2-T_1)}{n-1}=\frac{p_2v_2-p_1v_1}{n-1}

w_v=\frac{RT_1}{n-1}\left[\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{(n-1)/n}-1\right]

Für n ≠ 1. Den Sonderfall n = 1 mit der logarithmischen isothermen Formel berechnen.

Polytropenexponent und Sonderfälle

Formel

n=\frac{\ln(p_1/p_2)}{\ln(v_2/v_1)},\qquad\ln p+n\ln v=\mathrm{konst.}

\begin{array}{c|cccc}n&0&1&\kappa&\to\infty\\\hline\text{Prozess}&\text{isobar}&\text{isotherm}&\text{isentrop}&\text{isochor}\end{array}

Im log(p)-log(v)-Diagramm ist die Steigung −n. n kann aus gemessenen Zustandspunkten bestimmt werden.

6 · Kreisprozesse und Carnot

Nutzarbeit, Wirkungsgrad und Wärmebehälter

Skript S. 36–43

Kreisprozess

Definition

Mehrere Zustandsänderungen führen das Arbeitsmedium zum Anfangszustand zurück. Zustandsgrößen haben über einen Umlauf keine Nettoänderung. Rechtslaufend im p-v-Diagramm: Arbeitsabgabe; linkslaufend: Arbeitsbedarf.

Erster Hauptsatz des Kreisprozesses

Formel

\Delta U=0,\quad W=\sum_iW_i,\quad Q=\sum_iQ_i,\quad W=-\sum_iQ_i

W_{\mathrm{rev}}=-\oint p\,\mathrm dV,\qquad |W_{\mathrm{Nutz}}|=|W_{\mathrm{Expansion}}|-|W_{\mathrm{Kompression}}|

Die eingeschlossene p-V-Fläche stellt die reversible Nettoarbeit dar. Für einen rechtslaufenden Prozess gilt W < 0.

Thermischer Wirkungsgrad

Definition

\eta_{\mathrm{th}}=\frac{|W_{\mathrm{Nutz}}|}{Q_{\mathrm{zu}}}=1-\frac{|Q_{\mathrm{ab}}|}{Q_{\mathrm{zu}}}<1

Qzu ist positiv, Qab negativ. Eine Wärmekraftmaschine benötigt auch eine Wärmesenke.

Wärmebehälter

Definition

Idealisiertes Reservoir, dessen Temperatur sich beim Wärmeaustausch nicht ändert. Ein Wärmekraftprozess nimmt Wärme von einer warmen Quelle auf und gibt einen Teil an eine kältere Senke ab.

Carnot-Prozess

Definition

Reversibler Vergleichsprozess aus zwei Isothermen und zwei Isentropen. Hier: 1→2 isotherme Expansion bei Tₕ; 2→3 isentrope Expansion; 3→4 isotherme Kompression bei T𝚌; 4→1 isentrope Kompression. Reversibler Wärmeübergang erfordert verschwindend kleine Temperaturdifferenzen.

Carnot: Einzelarbeiten und Wärmen

Formel

w_{12}=-RT_h\ln\frac{v_2}{v_1},\quad q_{12}=-w_{12}

w_{23}=c_v(T_c-T_h),\qquad w_{41}=c_v(T_h-T_c)

w_{34}=-RT_c\ln\frac{v_4}{v_3},\quad q_{34}=-w_{34}

\frac{v_2}{v_1}=\frac{v_3}{v_4},\qquad w_C=-R(T_h-T_c)\ln\frac{v_2}{v_1}

Ideales Gas, konstante Stoffwerte. Die beiden adiabaten Volumenarbeiten heben sich im Umlauf auf.

Carnot-Wirkungsgrad

Formel

\eta_C=1-\frac{T_c}{T_h}=\frac{T_h-T_c}{T_h},\qquad\frac{|Q_{\mathrm{ab}}|}{Q_{\mathrm{zu}}}=\frac{T_c}{T_h}

Temperaturen zwingend in K; Tₕ > T𝚌 > 0. Obergrenze für Wärmekraftprozesse zwischen zwei gegebenen Reservoirtemperaturen.

7 · Zweiter Hauptsatz und Entropie

Reversibilität, Entropieerzeugung und Arbeitsverluste

Skript S. 43–65

Reversibel und irreversibel

Definition

Reversibel: System und Umgebung können ohne bleibende Veränderung in ihre Anfangszustände zurückgeführt werden. Irreversibel: Dies ist nicht möglich, etwa bei Reibung, Drosselung, Vermischung oder Wärmeübertragung mit endlicher Temperaturdifferenz.

Richtung adiabater Zustandsänderungen

Formel

\mathrm dU+p\,\mathrm dV=0\quad\text{reversibel}

\mathrm dU+p\,\mathrm dV=|\delta W_R|>0\quad\text{irreversibel}

\mathrm dU+p\,\mathrm dV<0\quad\text{adiabat nicht möglich}

Für die im Skript betrachteten einfachen, quasistatischen Systeme mit ausschließlich mechanischer Volumen- und Reibungsarbeit.

Vollständiges Differential und integrierender Nenner

Formel

\mathrm dZ=Z_x\,\mathrm dx+Z_y\,\mathrm dy,\qquad\frac{\partial Z_x}{\partial y}=\frac{\partial Z_y}{\partial x}

\mathrm dS=\frac{\mathrm dU+p\,\mathrm dV}{N},\quad N>0,\quad N_A=N_B,\quad N=\Theta(T)=T

Der Faktor 1/T macht den mechanisch-thermischen Ausdruck zum vollständigen Differential der Entropie. Die physikalische Herleitung erstreckt sich über Gl. 193–210.

Fundamentalgleichung und Additivität

Definition

T\,\mathrm dS=\mathrm dU+p\,\mathrm dV,\qquad T\,\mathrm ds=\mathrm du+p\,\mathrm dv

S=\sum_iS_i,\qquad s=\frac Sm

Für ein einfach kompressibles System fester Zusammensetzung zwischen Gleichgewichtszuständen. Entropie S in kJ/K, spezifische Entropie s in kJ/(kg·K).

Entropiesatz für das adiabate geschlossene Gesamtsystem

Formel

\Delta S\ge0,\qquad\Delta S=0\ \text{reversibel},\quad\Delta S>0\ \text{irreversibel}

Eine Abnahme der Gesamtentropie ist unmöglich. Ein Teilsystem kann Entropie abgeben; entscheidend ist die Summe von System und Umgebung.

Wärme, Reibung und Entropie

Formel

T\,\mathrm ds=\delta q+\delta w_R

q_{12}+|w_{R,12}|=\int_1^2T\,\mathrm ds

\delta q_{\mathrm{rev}}=T\,\mathrm ds,\qquad q_{12,\mathrm{rev}}=\int_1^2T\,\mathrm ds

Für die quasistatischen mechanischen Prozesse des Skripts. Die Gleichsetzung δq = T ds gilt nur reversibel.

Entropieströmung und Entropieerzeugung

Formel

\mathrm dS=\mathrm dS_a+\mathrm dS_i

\mathrm dS_a=\frac{\delta Q}{T_b},\qquad \mathrm dS_i\ge0

\Delta S=\int\frac{\delta Q}{T_b}+S_{\mathrm{erzeugt}}

Tᵦ ist die Temperatur an der wärmeübertragenden Systemgrenze. Sa kann positiv oder negativ sein. Si ist null bei reversiblen und positiv bei irreversiblen Vorgängen. Bei reiner innerer Reibung im Skript: dSi = δWR/T.

Entropieerzeugung beim Wärmeübergang

Formel

\Delta S_{\mathrm{ges}}=Q\left(\frac1{T_2}-\frac1{T_1}\right)=Q\frac{T_1-T_2}{T_1T_2}\ge0

Q > 0 fließt von einem Reservoir T₁ zum Reservoir T₂, T₁ ≥ T₂. Bei endlicher Temperaturdifferenz entsteht Entropie; ohne Zusatzarbeit fließt Wärme nicht von kalt nach warm.

Allgemeine Ungleichung für Wärme und Arbeit

Formel

\delta Q\le T\,\mathrm dS,\qquad\mathrm dU-\delta W\le T\,\mathrm dS

-\delta W_{\mathrm{rev}}=T\,\mathrm dS-\mathrm dU,\qquad-\delta W_{\mathrm{irr}}<T\,\mathrm dS-\mathrm dU

|W_{\mathrm{gew,rev}}|\ge|W_{\mathrm{gew,irr}}|

Die erste Form verwendet die thermische Randbedingung des Skripts. Die allgemeine Bilanz mit Grenztemperatur Tᵦ steht im vorherigen Eintrag. Gleiche Randbedingungen beim Arbeitsvergleich voraussetzen.

Maximales Arbeitsvermögen eines Gebildes

Formel

-W=U_{\mathrm{vorher}}-U_{\mathrm{nachher}}\quad(Q_{\mathrm{ges}}=0)

Maximale Arbeit erhält man beim vollständig reversiblen Übergang des Arbeitsgebildes einschließlich beteiligter Wärmebehälter zum Gleichgewicht mit der Umgebung: p₂ = p₀ und T₂ = T₀. Die gedruckte S. 60 enthält keine Inhalte; Gl. 243–250 sind im Archiv nicht verfügbar.

Entropie idealer Gase bei konstanten Stoffwerten

Formel

s_2-s_1=c_v\ln\frac{T_2}{T_1}+R\ln\frac{v_2}{v_1}

s_2-s_1=c_p\ln\frac{T_2}{T_1}-R\ln\frac{p_2}{p_1}

s_2-s_1=c_v\ln\frac{p_2}{p_1}+c_p\ln\frac{v_2}{v_1}

Logarithmen nur von dimensionslosen Quotienten bilden. Der Bezugswert s₀ ist frei wählbar, solange er konsistent verwendet wird.

Isobaren, Isochoren und Polytropen im T-s-Diagramm

Formel

\left(\frac{\mathrm dT}{\mathrm ds}\right)_v=\frac T{c_v},\qquad\left(\frac{\mathrm dT}{\mathrm ds}\right)_p=\frac T{c_p}

\frac{\mathrm dT}{\mathrm ds}=\frac T{c_n}\quad\text{(reversible Polytrope)}

Wegen cₚ > cᵥ verlaufen Isobaren im selben Zustand flacher als Isochoren.

Kalorische Ableitung und Maxwell-Beziehung

Formel

\left(\frac{\partial u}{\partial v}\right)_T=T\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_v-p

\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_v=\frac{c_v}{T},\qquad\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T=\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_v

Die Beziehungen folgen aus der Fundamentalgleichung und der Gleichheit gemischter Ableitungen.

Entropie beliebiger Stoffe

Formel

\mathrm ds=\frac{c_v}{T}\,\mathrm dT+\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_v\mathrm dv

\mathrm ds=\frac{c_p}{T}\,\mathrm dT-\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p\mathrm dp

s_2-s_1=\int_1^2\left[\frac{c_v}{T}\,\mathrm dT+\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_v\mathrm dv\right]

Auch für reale Stoffe und veränderliche Wärmekapazitäten. Bei getrennter Integration erst eine passende Zwischenzustandsroute festlegen.

Ideales Gas mit temperaturabhängiger Wärmekapazität

Formel

s_2-s_1=\int_{T_1}^{T_2}\frac{c_v(T)}{T}\,\mathrm dT+R\ln\frac{v_2}{v_1}

s_2-s_1=\int_{T_1}^{T_2}\frac{c_p(T)}{T}\,\mathrm dT-R\ln\frac{p_2}{p_1}

Diese Form verwenden, wenn konstante Wärmekapazitäten nicht ausreichen.

8 · T-s-, p-v- und h-s-Diagramme

Was Flächen, Strecken und Linien bedeuten

Skript S. 66–70; 114–118

Flächen im p-v- und T-s-Diagramm

Formel

w_{v,\mathrm{rev}}=-\int_1^2p\,\mathrm dv,\qquad q_{\mathrm{rev}}=\int_1^2T\,\mathrm ds

\int_1^2T\,\mathrm ds=q_{12}+|w_{R,12}|

Im p-v-Diagramm steht die Fläche für reversible Volumenarbeit; im T-s-Diagramm für reversible Wärme. Bei irreversiblen Vorgängen ist die T-s-Fläche im Skriptmodell Wärme plus Reibungsarbeit.

Adiabate im T-s-Diagramm

Formel

\text{reversibel: }\mathrm ds=0,\quad q=0

\text{irreversibel: }\Delta s>0,\quad|w_R|=\int_1^2T\,\mathrm ds

Eine Isentrope ist senkrecht; eine adiabate Reibungsänderung wandert zu größerer Entropie.

Carnot-Rechteck im T-s-Diagramm

Formel

q_{12}=T_h(s_2-s_1),\quad q_{34}=T_c(s_4-s_3)

s_2=s_3,\quad s_4=s_1,\quad |w_C|=(T_h-T_c)(s_2-s_1)

\frac{|Q_{12}|}{T_h}=|\Delta S_{12}|=|\Delta S_{34}|=\frac{|Q_{34}|}{T_c}

Die Rechteckfläche ist die Nutzarbeit; die Entropieströmungen zu warmem und kaltem Reservoir sind betragsgleich.

h-s-Diagramm nach Mollier

Definition

Enthalpie über Entropie. Isentrope Prozesse verlaufen senkrecht; Drosselung folgt h = konstant. Isobare Wärmen und adiabate technische Arbeiten können als Enthalpiedifferenzen abgelesen werden. Im schiefwinkligen Diagramm liegen h = konstant-Linien schräg.

Steigung der Isobaren im h-s-Diagramm

Formel

\left(\frac{\partial h}{\partial s}\right)_p=T

Im Zweiphasengebiet ist T bei konstantem Druck konstant: Die Isobare ist dort eine Gerade.

Unterschiedliche Nullpunkte in den Skriptanhängen

Formel

h_{\mathrm{SWD}}=h_{\mathrm{DTA}}+633\ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}

s_{\mathrm{SWD}}=s_{\mathrm{DTA}}+3{,}52\ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg\,K}}

Nur für die im Skript beigefügten Tafeln und das schiefwinklige Wasserdiagramm! Enthalpie- und Entropiewerte aus beiden Darstellungen erst nach dieser Umrechnung kombinieren.

9 · Enthalpie, Drosselung und Vermischung

Typische reversible und irreversible Prozesse

Skript S. 70–83

Druckluft- und Unterdruckbehälter

Formel

V_2=\frac{p_1}{p_0}V_1\qquad(T_1=T_0,\ T=\mathrm{konst.})

W_{v,12}=p_1V_1\ln\frac{p_0}{p_1},\quad W_{v,32}=p_0(V_2-V_1)

W_{\mathrm{Nutz}}=p_1V_1\left(\ln\frac{p_0}{p_1}+1-\frac{p_0}{p_1}\right)\le0

Maximal gewinnbare einmalige Arbeit bei reversibler Angleichung an den Umgebungsdruck p₀ und Berücksichtigung der Verdrängung der Umgebungsluft. Gilt sowohl für p₁ > p₀ als auch p₁ < p₀.

Maximale einmalige Arbeit aus Heißgasen

Formel

W=mc_pT_0\left(1+\ln\frac{T_1}{T_0}-\frac{T_1}{T_0}\right)\le0

Ideales Gas, konstantes cₚ, Anfangsdruck p₁ = p₀. Reversibler Temperaturausgleich mit der Umgebung; |W| ist der gewinnbare Betrag.

Enthalpie und ihre Differentiale

Definition

H=U+pV,\qquad h=u+pv

\mathrm dh=\mathrm du+p\,\mathrm dv+v\,\mathrm dp

T\,\mathrm ds=\mathrm dh-v\,\mathrm dp

\delta q_{\mathrm{rev}}=\mathrm dh-v\,\mathrm dp,\qquad q_{12,\mathrm{rev}}=h_2-h_1-\int_1^2v\,\mathrm dp

Enthalpie ist eine Zustandsgröße und umfasst die innere Energie plus Strömungsarbeit.

Drosselung

Definition

q=0,\quad w_t=0,\quad\Delta e_a\approx0\quad\Longrightarrow\quad h_2=h_1

u_2-u_1=p_1v_1-p_2v_2

\text{ideales Gas: }T_2=T_1,\quad s_2-s_1=-R\ln\frac{p_2}{p_1}>0

Stationäre Druckabsenkung durch ein Ventil oder eine Verengung. Der Vorgang ist irreversibel. Bei realen Gasen kann sich die Temperatur ändern (Kapitel 16).

Enthalpie berechnen

Formel

\mathrm dh=c_p\,\mathrm dT+\left(\frac{\partial h}{\partial p}\right)_T\mathrm dp

\text{ideales Gas: }h=h(T),\quad h_2-h_1=\int_{T_1}^{T_2}c_p(T)\,\mathrm dT

h-h_0=\overline c_p(T-T_0),\qquad h=c_p t\quad(h=0\ \text{bei }t=0\,^{\circ}\mathrm C)

Die letzte Gleichung setzt konstantes cₚ und den genannten Enthalpienullpunkt voraus.

Adiabates Vermischen in einem starren Behälter

Formel

V=\sum_iV_i,\quad W=Q=0,\quad\sum_i m_i u_i=\sum_i m_i u_{i,\mathrm{Ende}}

T_m=\frac{\sum_i m_i c_{v,i}T_i}{\sum_i m_i c_{v,i}}

p_i^{\ast}=p_i\frac{V_iT_m}{VT_i}=\frac{m_iR_iT_m}{V},\qquad p_m=\sum_i p_i^{\ast}

Ideale Gase mit konstanten cᵥ. pᵢ vor der Mischung ist vom Partialdruck pᵢ* danach zu unterscheiden.

Mischtemperatur mit Ausgangsdrücken und -volumina

Formel

T_m=\frac{\sum_i p_iV_i/(\kappa_i-1)}{\sum_i p_iV_i/[(\kappa_i-1)T_i]}

Äquivalente Form der Behältermischung nach Einsetzen von mᵢ = pᵢVᵢ/(RᵢTᵢ).

Adiabates Mischen von Gasströmen

Formel

\sum_i\dot m_i h_i=\dot m_mh_m,\qquad\dot m_m=\sum_i\dot m_i

T_m=\frac{\sum_i\dot m_ic_{p,i}T_i}{\sum_i\dot m_ic_{p,i}}

T_m=\frac{\sum_i\frac{\kappa_i}{\kappa_i-1}p_i\dot V_i}{\sum_i\frac{\kappa_i}{\kappa_i-1}\frac{p_i\dot V_i}{T_i}}

Stationär, keine technische Arbeit und keine nennenswerte Änderung äußerer Energie. cₚ statt cᵥ verwenden.

Volumenstrom nach der Vermischung

Formel

\dot V_i^{\ast}=\dot V_i\frac{p_iT_m}{p_mT_i},\quad\dot V_m=\sum_i\dot V_i^{\ast}=\frac{T_m}{p_m}\sum_i\frac{p_i\dot V_i}{T_i}

\dot V_m=T_m\sum_i\frac{\dot V_i}{T_i}\quad(p_i=p_m)

Der Mischungsdruck pₘ muss vorgegeben sein. Das Partialvolumen danach unterscheidet sich vom Volumen vor der Mischung.

Gibbs-Satz und Mischungsentropie

Formel

S_{\mathrm{Gemisch}}=\sum_i m_is_i(T_m,p_i^{\ast})

\Delta S=\sum_i m_i\left[c_{p,i}\ln\frac{T_m}{T_i}-R_i\ln\frac{p_i^{\ast}}{p_i}\right]

\Delta S_{\mathrm{mix}}=-n\overline R\sum_i r_i\ln r_i\ge0\quad(T_i=T_m,\ p_i=p_m)

Entropien der Einzelkomponenten werden bei ihren Partialdrücken ausgewertet. Die letzte Form gilt für das Vermischen verschiedener idealer Gase bei gleichen Ausgangstemperaturen und -drücken.

Arbeitsverlust durch Nichtumkehrbarkeit

Formel

\Delta S_{\mathrm{ges}}=\Delta S_{\mathrm{Arbeitsgebilde}}+\Delta S_{\mathrm{Umgebung}}

W_{\mathrm{Verlust}}=W_{\mathrm{irr}}-W_{\mathrm{rev}}=T_0\Delta S_{\mathrm{ges}}=T_0S_{\mathrm{erzeugt}}\ge0

Umgebung mit konstanter Temperatur T₀. Die Gesamtentropieänderung einbeziehen, nicht nur die Entropieänderung des Arbeitsmediums.

10 · Technische Arbeit und Maschinen

Strömungsarbeit, Reibung und isentrope Wirkungsgrade

Skript S. 83–93

Reversible technische Arbeit

Formel

w_{t,12}=\int_1^2v\,\mathrm dp

w_t=w_v+p_2v_2-p_1v_1

w_t=\Delta h-q_{12}\quad(\Delta e_a\approx0)

Technische Arbeit enthält im Unterschied zur reinen Volumenänderungsarbeit die Ein- und Ausschubbeiträge des offenen Prozesses.

Ideales Gas: isotherme, isentrope und polytrope technische Arbeit

Formel

w_{t,\mathrm{isoth}}=w_{v,\mathrm{isoth}}=RT\ln\frac{p_2}{p_1}

w_{t,s}=\kappa w_{v,s}=c_p(T_2-T_1)

w_{t,s}=\frac{\kappa RT_1}{\kappa-1}\left[\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{(\kappa-1)/\kappa}-1\right]

w_{t,\mathrm{poly}}=nw_{v,\mathrm{poly}}=\frac{nR(T_2-T_1)}{n-1}

Reibungsfreie Prozesse und konstante Stoffwerte. Die polytrope Form folgt unmittelbar aus pvⁿ = konstant; n ≠ 1.

Technische Arbeit mit Reibung und äußerer Energie

Formel

w_t=\int_1^2v\,\mathrm dp+|w_R|\quad\text{(ruhend)}

w_t^{*}=\int_1^2v\,\mathrm dp+|w_R|+\frac{c_2^2-c_1^2}{2}+g(z_2-z_1)

q_{12}=\Delta h-\int_1^2v\,\mathrm dp-|w_R|

Für das quasistatische mechanische Modell des Skripts; Wärme und Reibung nicht doppelt bilanzieren.

Adiabate Turbine und adiabater Verdichter

Formel

q=0\quad\Longrightarrow\quad w_t=h_2-h_1

|w_R|=\int_1^2T\,\mathrm ds,\qquad h_2-h_1=\int_1^2v\,\mathrm dp+|w_R|

Diese Enthalpiebilanz gilt bei vernachlässigter äußerer Energie auch für irreversible adiabate Maschinen. Turbine: wₜ < 0; Verdichter: wₜ > 0.

Verlustarbeit gegenüber der isentropen Maschine

Formel

w_{tv}=h_2-h_{2s}

\text{Turbine: }w_{tv}=|w_{t,s}|-|w_t|

\text{Verdichter: }w_{tv}=w_t-w_{t,s}

2s ist der isentrope Endzustand beim selben Enddruck p₂. Diese Verlustarbeit ist von der entlang des realen Pfades integrierten Reibungsarbeit zu unterscheiden.

Isentroper Turbinenwirkungsgrad

Definition

\eta_{sT}=\frac{|w_t|}{|w_{t,s}|}=\frac{h_1-h_2}{h_1-h_{2s}}=1-\frac{w_{tv}}{|w_{t,s}|}

h_2=h_1-\eta_{sT}(h_1-h_{2s})

Reale Enthalpieabnahme geteilt durch isentrope Enthalpieabnahme bei gleichem Eintrittszustand und Enddruck.

Isentroper Verdichterwirkungsgrad

Definition

\eta_{sV}=\frac{w_{t,s}}{w_t}=\frac{h_{2s}-h_1}{h_2-h_1}

h_2=h_1+\frac{h_{2s}-h_1}{\eta_{sV}}

Beim Verdichter steht die isentrope Mindestarbeit im Zähler. Nicht mit der Turbinenformel vertauschen.

11 · Verdampfung und reale Gase

Sättigung, Nassdampf, Potenziale und van der Waals

Skript S. 93–118

Sättigungsdruck, Sättigungstemperatur und Grenzkurve

Definition

Bei Phasengleichgewicht sind Sättigungsdruck pₛ und Sättigungstemperatur Tₛ eindeutig gekoppelt. Die Siedelinie (′) beschreibt gerade siedende Flüssigkeit; die Taulinie (″) trocken gesättigten Dampf. Dazwischen liegt Nassdampf aus Flüssigkeit und Dampf.

Überhitzter Dampf

Definition

Dampf oberhalb seiner Sättigungstemperatur beim gegebenen Druck. Er ist ein einphasiges Gas, muss sich aber insbesondere nahe der Sättigungsgrenze nicht ideal verhalten.

Kritischer Punkt

Definition

Endpunkt der Flüssig-Dampf-Koexistenz; Flüssigkeit und Dampf besitzen dieselbe Dichte. Die Verdampfungswärme verschwindet. Oberhalb der kritischen Temperatur ist keine Verflüssigung allein durch Kompression über eine Phasengrenze möglich.

Schmelzen, Erstarren, Sublimation und Tripelpunkt

Definition

Schmelzen/Erstarren verbindet feste und flüssige Phase; Sublimation den direkten Übergang fest→gasförmig. Im Tripelpunkt stehen feste, flüssige und gasförmige Phase gleichzeitig im Gleichgewicht. Die im alten Skript gedruckten Zahlen sind teils uneinheitlich; für Rechnungen die gewählte Stofftafel konsistent benutzen.

Dampfdruck in einem neutralen Gas

Definition

An einer Flüssigkeitsoberfläche entspricht der Dampfpartialdruck im Gleichgewicht dem Sättigungsdruck der Flüssigkeit bei dieser Temperatur. Ein zusätzliches neutrales Gas erhöht den Gesamtdruck, nicht diesen Gleichgewichts-Dampfpartialdruck.

Flüssigkeit erwärmen und Dampf überhitzen

Formel

q_f=\int_{T_1}^{T_s}c_f\,\mathrm dT,\qquad s^{\prime}-s_1=\int_{T_1}^{T_s}\frac{c_f}{T}\,\mathrm dT

q_{\mathrm{\ddot u}}=\int_{T_s}^{T_{\mathrm{\ddot u}}}c_p\,\mathrm dT,\qquad s_{\mathrm{\ddot u}}-s^{\prime\prime}=\int_{T_s}^{T_{\mathrm{\ddot u}}}\frac{c_p}{T}\,\mathrm dT

\Delta s=c\ln\frac{T_2}{T_1}\quad(c=\mathrm{konst.})

Isobar und reversibel. Nahe dem kritischen Punkt sind konstante Wärmekapazitäten unzureichend.

Verdampfungswärme und ihre Anteile

Formel

r=h^{\prime\prime}-h^{\prime}=T_s(s^{\prime\prime}-s^{\prime})

\varphi=u^{\prime\prime}-u^{\prime},\qquad\psi=p_s(v^{\prime\prime}-v^{\prime})

r=\varphi+\psi,\qquad\varphi=r-p_s(v^{\prime\prime}-v^{\prime})

r: gesamte Verdampfungswärme; φ: innere Verdampfungswärme; ψ: äußere Verdampfungswärme bzw. Expansionsarbeit. Einheit kJ/kg. Das Symbol φ wird später auch für relative Feuchte verwendet.

Dampfgehalt x

Definition

x=\frac{m_{\mathrm{Dampf}}}{m_{\mathrm{Dampf}}+m_{\mathrm{Fl\ddot ussigkeit}}},\qquad0\le x\le1

y=1-x

x = 0: siedende Flüssigkeit; x = 1: trocken gesättigter Dampf. Der Dampfgehalt ist ein Massenanteil, kein Volumenanteil.

Mischungsregel für Nassdampf

Formel

v_x=v^{\prime}+x(v^{\prime\prime}-v^{\prime}),\quad h_x=h^{\prime}+x(h^{\prime\prime}-h^{\prime})=h^{\prime}+xr

u_x=u^{\prime}+x(u^{\prime\prime}-u^{\prime})=u^{\prime}+x\varphi

s_x=s^{\prime}+x(s^{\prime\prime}-s^{\prime})=s^{\prime}+x\frac r{T_s}

u_x=h_x-pv_x

Alle Sättigungswerte beim selben Druck bzw. derselben Sättigungstemperatur auswerten.

Dampfgehalt aus einer Zustandsgröße

Formel

x=\frac{v-v^{\prime}}{v^{\prime\prime}-v^{\prime}}=\frac{h-h^{\prime}}{h^{\prime\prime}-h^{\prime}}=\frac{u-u^{\prime}}{u^{\prime\prime}-u^{\prime}}=\frac{s-s^{\prime}}{s^{\prime\prime}-s^{\prime}}

Nur im Zweiphasengebiet und außerhalb des kritischen Punktes. Zur isobaren Teilverdampfung aus siedender Flüssigkeit: q = xr.

Freie Energie und Maxwell-Beziehung

Formel

f=u-Ts,\quad\mathrm df=-p\,\mathrm dv-s\,\mathrm dT

p=-\left(\frac{\partial f}{\partial v}\right)_T,\quad s=-\left(\frac{\partial f}{\partial T}\right)_v

\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_v=\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)_T

f ist die spezifische freie Energie (Helmholtz-Energie).

Clausius-Clapeyron-Gleichung

Formel

\frac{\mathrm dp_s}{\mathrm dT}=\frac{s^{\prime\prime}-s^{\prime}}{v^{\prime\prime}-v^{\prime}}=\frac{r}{T(v^{\prime\prime}-v^{\prime})}

r=T(v^{\prime\prime}-v^{\prime})\frac{\mathrm dp_s}{\mathrm dT}

Verknüpft die Steigung der Sättigungsdruckkurve mit der Verdampfungswärme. Im Nassdampfgebiet bei T = konstant gilt (∂p/∂v)T = 0.

Näherungsform der Dampfdruckkurve

Formel

\frac{\mathrm dp_s}{p_s}=\frac{r_0}{RT^2}\,\mathrm dT

\ln\frac{p_s}{p_{s,0}}=-\frac{r_0}{R}\left(\frac1T-\frac1{T_0}\right)

p_s=p_{s,0}\exp\left[\frac{r_0}{R}\left(\frac1{T_0}-\frac1T\right)\right]

Voraussetzungen: v′ ≪ v″; Dampf näherungsweise ideal; r ≈ r₀ konstant. Nur in einem passenden Temperaturbereich verwenden.

Isobare Zustandsänderung von Nassdampf

Formel

q_{12}=T_s(s_2-s_1)=r(x_2-x_1)=h_2-h_1

w_v=-p(v_2-v_1)=-p(v^{\prime\prime}-v^{\prime})(x_2-x_1)

p und T bleiben im Nassdampfgebiet konstant; x ändert sich.

Isochore Zustandsänderung von Nassdampf

Formel

v_2=v_1,\quad w_v=0,\quad q_{12}=u_2-u_1

q_{12}=(u_2^{\prime}+x_2\varphi_2)-(u_1^{\prime}+x_1\varphi_1)

x_2=\frac{v_1-v_2^{\prime}}{v_2^{\prime\prime}-v_2^{\prime}}

Bei einer Druckänderung jeweils neue Sättigungswerte benutzen. Je nach Ausgangslage wird der Dampf beim Erwärmen nasser oder trockener.

Isentrope Zustandsänderung von Nassdampf

Formel

s_2=s_1,\quad x_2=\frac{s_1-s_2^{\prime}}{s_2^{\prime\prime}-s_2^{\prime}}

x_2=\frac{s_1^{\prime}-s_2^{\prime}+x_1(s_1^{\prime\prime}-s_1^{\prime})}{s_2^{\prime\prime}-s_2^{\prime}}

v_2=v_2^{\prime}+x_2(v_2^{\prime\prime}-v_2^{\prime})

w_v=u_2-u_1,\qquad w_t=h_2-h_1\qquad(q=0)

Dampfqualität mit Stofftafeln bzw. h-s-Diagramm ermitteln. Der im Skript erwähnte empirische Exponent 1,135 ist ausdrücklich nicht cₚ/cᵥ; das Skript rät von der Potenznäherung für Rechnungen im Nassdampfgebiet ab.

Abweichung überhitzten Dampfes vom idealen Gas

Formel

v_{\mathrm{id}}=\frac{RT}{p}

Die ideale Näherung ist bei geringem Druck eher brauchbar; bei höherem Druck und nahe der Sättigung Stofftafeln oder eine reale Zustandsgleichung verwenden.

Van-der-Waals-Gleichung

Formel

p(v-b)=RT\quad\text{(nur Eigenvolumenkorrektur)}

p_{\mathrm{innen}}=p+\frac a{v^2}

\left(p+\frac a{v^2}\right)(v-b)=RT,\qquad p=\frac{RT}{v-b}-\frac a{v^2}

b berücksichtigt das ausgeschlossene Eigenvolumen, a die anziehenden Molekülkräfte. a, b und R müssen auf dieselbe Massen- oder Molbasis bezogen sein.

Kritischer Punkt der Van-der-Waals-Gleichung

Formel

\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_{T_k}=0,\quad\left(\frac{\partial^2p}{\partial v^2}\right)_{T_k}=0

-\frac{RT_k}{(v_k-b)^2}+\frac{2a}{v_k^3}=0,\quad\frac{2RT_k}{(v_k-b)^3}-\frac{6a}{v_k^4}=0

v_k=3b,\quad T_k=\frac{8a}{27Rb},\quad p_k=\frac{a}{27b^2},\quad\frac{p_kv_k}{RT_k}=\frac38

b=\frac{v_k}{3},\qquad\frac ab=\frac{27}{8}RT_k

Die einfache Van-der-Waals-Gleichung beschreibt reale Stoffe nur näherungsweise; besonders Wasser nahe der Sättigung benötigt präzisere Stoffdaten.

12 · Stationäre Fließprozesse

Erster Hauptsatz für kontinuierlich durchströmte Systeme

Skript S. 118–121

Stationär

Definition

Die im Kontrollvolumen gespeicherte Masse und Energie ändern sich zeitlich nicht. Bei einem Ein- und einem Austritt sind die Massenströme gleich. Stationär bedeutet nicht, dass alle Strömungsstellen denselben Zustand besitzen.

Ein- und Ausschubarbeit

Formel

W_{\mathrm{ein}}=p_1v_1m,\qquad W_{\mathrm{aus}}=-p_2v_2m

W_t=W-p_1V_1+p_2V_2

Die Größen pv gehen bei der Strömungsbilanz in die Enthalpie ein.

Eintritt 1 und Austritt 2

Formel

\dot Q+P=\dot m\left[h_2-h_1+\frac{c_2^2-c_1^2}{2}+g(z_2-z_1)\right]

q_{12}+w_{t,12}=h_2-h_1+\frac{c_2^2-c_1^2}{2}+g(z_2-z_1)

P=\dot m\,w_t,\qquad\dot Q=\dot m\,q,\qquad\dot m=\rho Ac

P ist zugeführte Wellenleistung: bei Turbinen negativ, bei Verdichtern positiv. Die Kontinuitätsform ρAc ist die zugehörige Definition des Massenstroms.

Mehrere Stoffströme

Formel

\sum_{\mathrm{ein}}\dot m_i=\sum_{\mathrm{aus}}\dot m_i

\dot Q+P=\sum_{\mathrm{aus}}\dot m_i\left(h_i+\frac{c_i^2}{2}+gz_i\right)-\sum_{\mathrm{ein}}\dot m_i\left(h_i+\frac{c_i^2}{2}+gz_i\right)

Hier sind alle Massenstromwerte positiv und werden über die getrennten Summen zugeordnet.

13 · Technische Wärmekraftprozesse

Gasprozesse, Verbrennungsmotoren und Dampfkraftanlagen

Skript S. 121–146

Realer Kreisprozess und Nettoleistung

Formel

w=-\oint p\,\mathrm dv+\sum_i|w_{R,i}|=-\sum_iq_i

P=P_T+P_P=-\sum_i\dot Q_i,\qquad\eta_{\mathrm{th}}=\frac{|P_T|-P_P}{\dot Q_{\mathrm{zu}}}

Reibung verkleinert die nutzbare Arbeitsabgabe. Turbinenleistung PT < 0, Pumpenleistung PP > 0.

Mittlere Wärmezufuhrtemperatur

Formel

T_m=\frac{Q_{\mathrm{zu}}}{\Delta S_{\mathrm{zu}}}=\frac{q_{\mathrm{zu}}}{\Delta s_{\mathrm{zu}}}

\eta_{\mathrm{th}}=1-\frac{T_{m,\mathrm{ab}}}{T_{m,\mathrm{zu}}}\quad\text{(intern reversibler Kreisprozess)}

Die Wärmezufuhrtemperatur ist eine thermodynamische Mitteltemperatur, nicht einfach das arithmetische Mittel oder die höchste Prozesstemperatur.

Ericsson- bzw. Ackeret-Keller-Prozess

Definition

Zwei Isothermen für Expansion und Kompression, verbunden durch zwei isobare regenerative Wärmeübertragungen. Bei ideal vollständiger, reversibler Regeneration ist der Wirkungsgrad gleich dem Carnot-Wirkungsgrad zwischen denselben Temperaturen.

Joule- bzw. Heißluftprozess

Definition

Zwei Isentropen und zwei Isobaren. Im Skript: 3→4 Verdichtung, 4→1 Wärmezufuhr, 1→2 Expansion, 2→3 Wärmeabfuhr. Der offene Joule-Prozess bildet den Gasturbinenprozess mit Brennkammer und Umgebung als Wärmesenke ab.

Joule-Prozess: Wärme und Nutzarbeit

Formel

q_{\mathrm{zu}}=c_p(T_1-T_4),\quad q_{\mathrm{ab}}=c_p(T_3-T_2)

w=c_p[(T_2-T_1)+(T_4-T_3)]

\eta_{\mathrm{th}}=1-\frac{T_2-T_3}{T_1-T_4}

Idealer, intern reversibler Prozess mit konstantem cₚ. Die Temperaturformen folgen aus den im Skript beschriebenen isobaren und isentropen Teilprozessen.

Regenerativer Gasturbinenprozess

Formel

q_R=h_2-h_3=h_6-h_5,\quad T_6\le T_2,\quad T_3\ge T_5

q_{\mathrm{zu}}=h_1-h_6,\quad q_{\mathrm{ab}}=h_4-h_3

|w|=q_{\mathrm{zu}}-|q_{\mathrm{ab}}|,\quad\eta=1-\frac{|q_{\mathrm{ab}}|}{q_{\mathrm{zu}}}

Der Rekuperator überträgt Abgaswärme auf das verdichtete Gas. Seine innere Wärmeübertragung zählt nicht zur äußeren Wärmezufuhr.

Otto-Vergleichsprozess

Definition

1→2 isentrope Kompression; 2→3 isochore Wärmezufuhr; 3→4 isentrope Expansion; 4→1 isochore Wärmeabfuhr. Er modelliert den Gleichraumprozess.

Otto: Arbeit und Wirkungsgrad

Formel

q_{\mathrm{zu}}=u_3-u_2=c_v(T_3-T_2),\quad q_{\mathrm{ab}}=u_1-u_4=c_v(T_1-T_4)

w=-[(u_3-u_2)+(u_1-u_4)]

\eta_O=1-\frac{u_4-u_1}{u_3-u_2}=1-\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}

\varepsilon=\frac{v_1}{v_2},\quad\frac{T_2}{T_1}=\varepsilon^{\kappa-1},\quad\eta_O=1-\frac1{\varepsilon^{\kappa-1}}

Ideales Gas und konstante Stoffwerte. ε bezeichnet hier das Verdichtungsverhältnis, nicht die Leistungsziffer einer Kältemaschine.

Diesel-Vergleichsprozess

Definition

1→2 isentrope Kompression; 2→3 isobare Wärmezufuhr; 3→4 isentrope Expansion; 4→1 isochore Wärmeabfuhr. Er modelliert den Gleichdruckprozess.

Diesel: Einspritzverhältnis und Wirkungsgrad

Formel

q_{\mathrm{zu}}=h_3-h_2=c_p(T_3-T_2),\quad q_{\mathrm{ab}}=u_1-u_4=c_v(T_1-T_4)

\varepsilon=\frac{v_1}{v_2},\quad\varphi_E=\frac{v_3}{v_2}

\eta_D=1-\frac{c_v(T_4-T_1)}{c_p(T_3-T_2)}=1-\frac{1}{\kappa\varepsilon^{\kappa-1}}\frac{\varphi_E^{\kappa}-1}{\varphi_E-1}

φE ist das im Skript φ genannte Einspritzverhältnis. Erhöhung von ε verbessert den idealen Wirkungsgrad; Erhöhung von φE verschlechtert ihn bei festem ε und κ.

Clausius-Rankine-Prozess

Definition

Praktischer Dampfkraftprozess: Flüssigkeit wird gepumpt, isobar erwärmt und verdampft, gegebenenfalls überhitzt, in einer Turbine entspannt und anschließend im Kondensator vollständig verflüssigt. Die Nummerierung folgt hier dem Skript: Turbine 1→2, Kondensator 2→5, Pumpe 5→6, Kessel 6→1.

Speisewasserpumpenarbeit

Formel

w_P=\int_{p_0}^{p}v\,\mathrm dp\approx v^{\prime}(p-p_0)=h_6-h_5

Nahezu inkompressible Flüssigkeit. Bei Vernachlässigung der Pumpenarbeit gilt h₆ ≈ h₅. p in kPa und v in m³/kg liefert kJ/kg.

Carnot-Dampfprozess als Vergleich

Formel

w_T=h_2-h_1,\quad w_K=h_4-h_3,\quad w_C=w_T+w_K

q_C=h_1-h_4,\quad q_{C,0}=h_3-h_2

\eta_C=1-\frac{h_2-h_3}{h_1-h_4}=1-\frac{T_0}{T}

Anders als Rankine benötigt dieser idealisierte Prozess die technisch ungünstige Verdichtung eines Nassdampfgemischs.

Rankine: vollständige Energiebilanz

Formel

w_T=h_2-h_1,\quad w_P=h_6-h_5,\quad w=w_T+w_P

q_{\mathrm{zu}}=h_1-h_6,\qquad q_{\mathrm{ab}}=h_5-h_2

\eta_R=\frac{(h_1-h_2)-(h_6-h_5)}{h_1-h_6}=1-\frac{h_2-h_5}{h_1-h_6}

\eta_R\approx\frac{h_1-h_2}{h_1-h_5}\quad(w_P\approx0)

Für die reale adiabate Turbine h₂ mithilfe des isentropen Wirkungsgrads ermitteln.

Dampfüberhitzung

Formel

q_{\mathrm{\ddot u}}=h_I-h_1,\quad q_{\mathrm{zu}}=q_f+r+q_{\mathrm{\ddot u}}=h_I-h_6

w_T=h_{II}-h_I,\qquad q_{\mathrm{ab}}=h_5-h_{II},\quad w_P=h_6-h_5

I und II kennzeichnen Eintritt und Austritt der Turbine im überhitzten Prozess des Skripts. Überhitzung erhöht die mittlere Wärmezufuhrtemperatur und verringert Nässe am Turbinenaustritt.

Regenerative Speisewasservorwärmung

Definition

Ein Teil des expandierenden Dampfes wird angezapft und erwärmt das Speisewasser in Vorwärmern. Dadurch steigt die mittlere äußere Wärmezufuhrtemperatur und die Irreversibilität des Vorwärmens sinkt. Entnommene Teilmengen δ′, δ″ stehen den folgenden Turbinenstufen nicht mehr zur Verfügung.

Zwischenüberhitzung: Arbeit und Wirkungsgrad

Formel

w_T=(h_{II}-h_I)+(h_{IV}-h_{III})

q_{\mathrm{zu}}=(h_I-h_6)+(h_{III}-h_{II})

\eta=\frac{(h_I-h_{II})+(h_{III}-h_{IV})-(h_6-h_5)}{(h_I-h_6)+(h_{III}-h_{II})}

T_m=\frac{(h_I-h_6)+(h_{III}-h_{II})}{s_{III}-s_6}\quad(s_{II}=s_I)

I→II Hochdruckturbine, II→III isobare Zwischenüberhitzung, III→IV Niederdruckturbine. Der Ausdruck für Tₘ setzt die im Skript isentropen Expansionen voraus.

Leistung, Dampfverbrauch und spezifischer Dampfverbrauch

Formel

\dot m=\frac{P_{\mathrm{Nutz}}}{|w_T|-w_P}\approx\frac{P_{\mathrm{Nutz}}}{h_I-h_{II}}

d=\frac{1}{|w_T|-w_P}\ \left[\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{kWs}}\right],\quad d_{\mathrm{kWh}}=\frac{3600}{|w_T|-w_P}\ \left[\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{kWh}}\right]

Spezifische Arbeit im Nenner in kJ/kg einsetzen; Nutzleistung in kW ergibt Massenstrom in kg/s. Das Skript nennt d auch m₀.

Kessel-, Generator- und Gesamtwirkungsgrad

Formel

\eta_K=\frac{\dot Q_{\mathrm{zu}}}{\dot m_BH_u},\qquad\eta_G=\frac{P_{\mathrm{el}}}{P_{\mathrm{Nutz}}}

\eta_{\mathrm{ges}}=\eta_{\mathrm{th}}\eta_K\eta_G=\frac{P_{\mathrm{el}}}{\dot m_BH_u}

ṁB: Brennstoffmassenstrom, Hu: unterer Heizwert. Die elektrischen und mechanischen Nutzleistungen werden hier als positive Beträge angegeben.

14 · Technische Arbeitsfähigkeit / Exergie

Maximale Nutzarbeit relativ zur Umgebung

Skript S. 147–149

Exergie

Definition

Größtmögliche technische Nutzarbeit beim vollständig reversiblen Übergang eines Stoffstroms in den Umgebungszustand p₀, T₀. Sie ist von der gewählten Umgebung abhängig. Hier werden Änderungen der kinetischen und potenziellen Energie wie im Skript vernachlässigt.

Exergie mit der Vorzeichenkonvention des Skripts

Formel

e_{\mathrm{Skript}}=(h_0-h)-T_0(s_0-s)

-e_{\mathrm{Skript}}=(h-h_0)-T_0(s-s_0)

q=T_0(s_0-s)\quad\text{beim reversiblen Umgebungswärmeaustausch}

Das Skript bezeichnet die vorzeichenbehaftete maximal gewinnbare Arbeit als e. Daher ist e bei Arbeitsabgabe negativ. Der übliche positive Arbeitsfähigkeitsbetrag ist −e.

Umgebungsgerade im h-s-Diagramm

Formel

h_{\mathrm{U}}(s)=h_0+T_0(s-s_0),\quad\frac{\mathrm dh_{\mathrm U}}{\mathrm ds}=T_0

-e_{\mathrm{Skript}}=h-h_{\mathrm U}(s)

Die Umgebungsgerade durch den Umgebungszustand ist tangential an die Isobare p₀. Die vertikale Enthalpiedifferenz liefert den Arbeitsfähigkeitsbetrag.

15 · Kältemaschinen

Leistungsziffer, Kaltluft und Kaltdampf

Skript S. 149–162

Kälteprozess und Wärmepumpe

Definition

Ein linkslaufender Kreisprozess entzieht einem kalten Bereich Wärme und gibt Wärme auf höherem Temperaturniveau ab. Dazu ist ein Kompensationsprozess erforderlich, hier mechanische Arbeit. Im Skript ist die Leistungsziffer ε auf die entzogene Kältewärme bezogen.

Energie- und Entropiebilanz des reversiblen Kälteprozesses

Formel

Q_{\mathrm{warm}}=Q_{\mathrm{kalt}}+W_{\mathrm{zu}}

\frac{Q_{\mathrm{warm}}}{T_{\mathrm{warm}}}=\frac{Q_{\mathrm{kalt}}}{T_{\mathrm{kalt}}}

W_{\min}=Q_{\mathrm{kalt}}\left(\frac{T_{\mathrm{warm}}}{T_{\mathrm{kalt}}}-1\right)

Alle Wärmemengen in diesem Eintrag sind positive Beträge. T𝚠𝚊𝚛𝚖 > T𝚔𝚊𝚕𝚝; ohne den Arbeitsaufwand wäre die Gesamtentropieänderung negativ.

Leistungsziffer

Definition

\epsilon=\frac{Q_{\mathrm{kalt}}}{W_{\mathrm{zu}}}=\frac{\dot Q_{\mathrm{kalt}}}{P_{\mathrm{zu}}}

\epsilon_C=\frac{T_{\mathrm{kalt}}}{T_{\mathrm{warm}}-T_{\mathrm{kalt}}}

Die Leistungsziffer kann größer als 1 sein und ist kein thermischer Wirkungsgrad. Der Carnot-Wert gilt für reversible Wärmeübertragung zwischen konstanten Temperaturen.

Kaltluftmaschine

Definition

Umgekehrter Joule-Prozess: 1→2 isentrope Kompression; 2→3 isobare Wärmeabgabe; 3→4 isentrope Expansion; 4→1 isobare Aufnahme der Kältewärme.

Kaltluftmaschine: Wärme, Arbeit und Leistungsziffer

Formel

q_0=c_p(T_1-T_4),\quad q=c_p(T_3-T_2)<0

w=w_K+w_E=-(q+q_0)

\frac{T_2}{T_1}=\frac{T_3}{T_4}=\left(\frac p{p_0}\right)^{(\kappa-1)/\kappa}

\epsilon=\frac{1}{(p/p_0)^{(\kappa-1)/\kappa}-1}

Ideales Gas mit konstanten Stoffwerten. Das Druckverhältnis muss die erforderliche Temperaturdifferenz überbrücken. Mehrstufige Verdichtung mit Zwischenkühlung kann den Arbeitsaufwand senken.

Kaltdampfmaschine

Definition

Nutzt den Phasenwechsel eines Kältemittels. Isobare Wärmeaufnahme und -abgabe laufen im Nassdampfgebiet zugleich isotherm. Der ideale Nassdampfprozess mit Expansionsmaschine entspricht Carnot; praktisch wird die Expansionsmaschine durch ein Drosselventil ersetzt.

Kaltdampfprozess mit Drosselventil

Formel

q_0=h_1-h_5,\quad w_K=h_2-h_1,\quad q=h_3-h_2<0

h_5=h_3,\qquad\epsilon=\frac{h_1-h_5}{h_2-h_1}

\dot m=\frac{\dot Q_0}{h_1-h_5},\qquad P_K=\dot m(h_2-h_1)

1: Verdichtereintritt; 2: Verdichteraustritt; 3: Kondensatoraustritt; 5: Zustand nach Drosselung. Die Durchsatzform folgt direkt aus der Kälteleistung pro kg.

Trockenes Ansaugen

Definition

Der Verdichter saugt trocken gesättigten oder ausreichend überhitzten Dampf an. Ein Flüssigkeitsabscheider hält mitgerissene Tropfen zurück. Die Verdichtung verläuft dadurch im überhitzten Gebiet.

Unterkühlung des Kondensats

Formel

h_{5^{\prime}}=h_{3^{\prime}}<h_3,\quad q_{0,\mathrm{uk}}=h_1-h_{5^{\prime}}

\epsilon_{\mathrm{uk}}=\frac{h_1-h_{5^{\prime}}}{h_2-h_1}>\frac{h_1-h_5}{h_2-h_1}

Bei gleichen Verdichtereintritts- und Austrittszuständen erhöht die Unterkühlung die spezifische Kälteleistung.

Zweistufige Verdichtung mit Zwischenkühlung

Formel

w_K=(h_{2m}-h_1)+(h_2-h_{1m})

q_{\mathrm{zwischen}}=h_{1m}-h_{2m}<0

q_{\mathrm{kond}}=h_{3^{\prime}}-h_2,\qquad q_0=h_1-h_{5^{\prime}}

1→2m erste Verdichtung; 2m→1m Zwischenkühlung; 1m→2 zweite Verdichtung. Die im Skript verwendeten Zustandsindizes werden hier einheitlich geschrieben.

16 · Gasverflüssigung und Joule-Thomson

Mindestarbeit, Inversion und Linde-Verfahren

Skript S. 163–174

Gasverflüssigung

Definition

Abkühlen bis zur flüssigen Phase; bei Flüssig-Dampf-Gleichgewicht unterhalb der kritischen Temperatur. Der Aufwand wird mit einem reversiblen Mindestarbeitsbedarf verglichen. Das Skript behandelt Luft dabei näherungsweise als einheitlichen Stoff.

Theoretische Mindestarbeit der Verflüssigung

Formel

w_{\min}=(h_f-h_0)-T_0(s_f-s_0)=T_0(s_0-s_f)-(h_0-h_f)

h_0-h_f=r_s+c_p(T_0-T_s)

s_0-s_f=c_p\ln\frac{T_0}{T_s}+\frac{r_s}{T_s}

w_{\min}=T_0\left[c_p\ln\frac{T_0}{T_s}+\frac{r_s}{T_s}\right]-\left[r_s+c_p(T_0-T_s)\right]

Index f: gesättigte Flüssigkeit beim Zieldruck; 0: Gas im Umgebungszustand. Die letzten drei Formeln gelten im idealisierten Modell mit konstantem cₚ. Der reale Arbeitsbedarf ist mindestens wmin.

Differenzieller Joule-Thomson-Koeffizient

Definition

\mu_{JT}=\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_h=-\frac{(\partial h/\partial p)_T}{(\partial h/\partial T)_p}

\mu_{JT}=\frac1{c_p}\left[T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p-v\right]

Einheit K/Pa bzw. K/bar. Bei Drosselung ist dp < 0: μJT > 0 bedeutet Abkühlung; μJT < 0 Erwärmung.

Empirischer Drosseleffekt für Luft im Skript

Formel

\mu_{JT}\approx a_{JT}\left(\frac{273\ \mathrm K}{T}\right)^2,\qquad a_{JT}\approx0{,}265\ \frac{\mathrm K}{\mathrm{bar}}

Historische Näherung aus den im Skript genannten Messungen (0–100 °C, bis etwa 6 bar); keine universelle Stoffgleichung. aJT ist nicht der Van-der-Waals-Parameter a.

Freie Enthalpie und benötigte Maxwell-Beziehung

Formel

g=h-Ts,\qquad\mathrm dg=v\,\mathrm dp-s\,\mathrm dT

\left(\frac{\partial s}{\partial p}\right)_T=-\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p

\left(\frac{\partial h}{\partial p}\right)_T=v-T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p,\quad\left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_p=c_p

g heißt spezifische freie Enthalpie (Gibbs-Energie). Die Stoffzusammensetzung bleibt hier konstant.

Ideales Gas und Drosseleffekt

Formel

v=\frac{RT}{p},\quad T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p=v,\quad\mu_{JT}=0

Bei idealen Gasen ist h nur von T abhängig. Isenthalpe Drosselung ändert daher die Temperatur nicht.

Joule-Thomson-Koeffizient des Van-der-Waals-Gases

Formel

\mu_{JT}=\frac1{c_p}\frac{\dfrac{2a(v-\frac32b)}{pv^2}-b}{1-\dfrac{a(v-2b)}{pv^3}}

\mu_{JT}=\frac b{c_p}\frac{\dfrac{2a}{b}\left(\dfrac{v-b}{v}\right)^2-RT}{RT-\dfrac{2a}{v}\left(\dfrac{v-b}{v}\right)^2}

\mu_{JT}\approx\frac1{c_p}\left(\frac{2a}{RT}-b\right)\quad\text{(geringe Dichte)}

Beide exakten Formen sind innerhalb des Van-der-Waals-Modells äquivalent; Nenner nicht null. Vorzeichenkorrektur gegenüber Gl. 583a der Vorlage: Im Zähler der zweiten Form muss (2a/b)((v−b)/v)² − RT stehen. Kontrollfall a = 0: μJT = −b/cₚ.

Inversion des Drosseleffekts

Formel

\mu_{JT}=0\quad\Longleftrightarrow\quad T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_p=v

T_{\mathrm{inv}}\approx\frac{2a}{Rb}=\frac{27}{4}T_k=6{,}75T_k\quad\text{(geringe Dichte)}

\frac{T_{\mathrm{inv}}}{T_k}=\frac34\left(3-\frac{v_k}{v}\right)^2

\frac{p_{\mathrm{inv}}}{p_k}=9\frac{v_k}{v}\left(2-\frac{v_k}{v}\right)

Die letzten drei Formeln beziehen sich auf das Van-der-Waals-Modell. Bei geringem Druck gilt: unterhalb der oberen Inversionstemperatur kühlt Drosseln, oberhalb erwärmt es.

Integraler Drosseleffekt

Formel

T_2-T_1=\int_{p_1}^{p_2}\mu_{JT}(T,p)\,\mathrm dp\quad(h=\mathrm{konst.})

\overline\mu_{JT}=\frac{T_2-T_1}{p_2-p_1}

Für endliche Druckabsenkungen wird entlang der Isenthalpe integriert. Ein einzelner lokaler μJT-Wert reicht bei großen Änderungen nicht immer aus.

Linde-Verfahren

Definition

Kompression, Vorkühlung im Gegenstromwärmetauscher und Drosselung werden gekoppelt. Das kalte Rückgas kühlt den neuen Hochdruckstrom immer weiter vor. Nach Erreichen des Zweiphasengebiets kann Flüssigkeit abgezogen werden; ein Gasanteil muss zur Vorkühlung zurückströmen.

Linde: Flüssigkeitsausbeute

Formel

h_2=z\,h_{4^{\prime}}+(1-z)h_5

z=\frac{h_5-h_2}{h_5-h_{4^{\prime}}}\le\frac{h_1-h_2}{h_1-h_{4^{\prime}}}

z ist die erzeugte Flüssigkeitsmasse pro kg angesaugtem Gas; die obere Grenze entspricht idealer Erwärmung des Rückgases bis zum Eintrittstemperaturniveau (h₅ = h₁).

Linde: Ausbeute bei Wärmeeinfall

Formel

h_2+q_i=z_qh_{4^{\prime}}+(1-z_q)h_5

z_q=\frac{h_5-h_2-q_i}{h_5-h_{4^{\prime}}}=z\left(1-\frac{q_i}{h_5-h_2}\right)

qᵢ ist von außen eindringende Wärme pro kg angesaugtem Gas; sie vermindert die Flüssigkeitsausbeute.

17 · Verbrennung

Stöchiometrie, Luftbedarf, Abgasanalyse und Heizwerte

Skript S. 175–191

Brennstoffzusammensetzung

Definition

c+h+s+o+n+a+w=1

Massenanteile in kg/kg Brennstoff: Kohlenstoff c, Wasserstoff h, Schwefel s, Sauerstoff o, Stickstoff n, Asche a und Wasser w. Diese Buchstaben sind nicht die gleichnamigen thermodynamischen Größen anderer Kapitel.

Zündtemperatur und vollkommene Verbrennung

Definition

Oberhalb der Zündbedingung übersteigt die Wärmeentwicklung der schnellen Oxidation die Wärmeabfuhr. Die Zündtemperatur hängt von den Prozessbedingungen ab. Vollkommene Verbrennung wandelt den brennbaren Kohlenstoff zu CO₂ und Wasserstoff zu H₂O um; CO, H₂ oder unverbrannter Brennstoff verursachen Verluste.

Stöchiometrische Grundreaktionen

Formel

\mathrm{H_2}+\tfrac12\mathrm{O_2}\longrightarrow\mathrm{H_2O}

\mathrm C+\tfrac12\mathrm{O_2}\longrightarrow\mathrm{CO},\qquad\mathrm{CO}+\tfrac12\mathrm{O_2}\longrightarrow\mathrm{CO_2}

\mathrm S+\mathrm{O_2}\longrightarrow\mathrm{SO_2}

\mathrm{CH_4}+2\mathrm{O_2}\longrightarrow\mathrm{CO_2}+2\mathrm{H_2O}

\mathrm{C_2H_4}+3\mathrm{O_2}\longrightarrow2\mathrm{CO_2}+2\mathrm{H_2O}

Koeffizienten sind Stoffmengenverhältnisse. Überschüssiger Sauerstoff und Stickstoff werden als unveränderte Begleitstoffe bilanziert.

Verbrennung von Kohlenwasserstoffen und Sauerstoffverbindungen

Formel

\mathrm{C_xH_yO_z}+\left(x+\frac y4-\frac z2\right)\mathrm{O_2}\longrightarrow x\mathrm{CO_2}+\frac y2\mathrm{H_2O}

O_m=x+\frac y4-\frac z2\quad\left[\frac{\mathrm{kmol\ O_2}}{\mathrm{kmol\ Brennstoff}}\right]

Für die vollständige stöchiometrische Verbrennung. Die Reaktionsgleichung bündelt die im Skript einzeln beschriebenen C-, H- und O-Bilanzen.

Molmengen aus Massenanteilen

Formel

N_C=\frac c{12},\quad N_{H_2}=\frac h2,\quad N_S=\frac s{32}

N_{O_2}=\frac o{32},\quad N_{N_2}=\frac n{28},\quad N_{H_2O}=\frac w{18}

Mit den gerundeten Molmassen des Skripts: Ergebnis kmol/kg Brennstoff. N dient hier zur eindeutigen Kennzeichnung der Molmengen (im Skript teils M′).

Mindestsauerstoffbedarf fester Brennstoffe

Formel

O_m=\frac c{12}+\frac h4+\frac s{32}-\frac o{32}

\sigma=\frac{O_m}{N_C}=1+3\frac{h-(o-s)/8}{c},\qquad O_m=\frac c{12}\sigma

O_{m,n}\approx1{,}867\,\sigma c\quad\left[\frac{\mathrm{m_n^3\ O_2}}{\mathrm{kg\ B}}\right]

σ ist die Sauerstoffbedarfscharakteristik. Die Molform liefert kmol O₂/kg Brennstoff; Umrechnung mit 22,4 m³ₙ/kmol.

Mindestluftbedarf und Luftfaktor

Definition

L_m=\frac{O_m}{0{,}21}\approx0{,}397\,\sigma c\quad\left[\frac{\mathrm{kmol\ Luft}}{\mathrm{kg\ B}}\right]

L_{m,n}\approx8{,}90\,\sigma c\quad\left[\frac{\mathrm{m_n^3\ Luft}}{\mathrm{kg\ B}}\right]

\lambda=\frac{L}{L_m},\qquad L=\lambda L_m

Skriptannahme: trockene Luft aus 21 Vol.-% O₂ und 79 Vol.-% N₂. λ > 1 Luftüberschuss; λ = 1 stöchiometrisch; λ < 1 Luftmangel und keine vollständige Verbrennung aller brennbaren Bestandteile.

Sauerstoffcharakteristik flüssiger Brennstoffe

Formel

\sigma=\frac{x+y/4-z/2}{x}=1+\frac y{4x}-\frac z{2x}

Für die Verbindung CₓHᵧO𝓏 und x > 0; nicht mit dem Wassergehalt x feuchter Luft verwechseln.

Sauerstoffbedarf gasförmiger Brennstoffe

Formel

\sum_i r_i^{\prime}=1

O_m=\frac12(r_{CO}^{\prime}+r_{H_2}^{\prime})+2r_{CH_4}^{\prime}+3r_{C_2H_4}^{\prime}+\sum_{\mathrm{weitere}}\left(x+\frac y4\right)r_{C_xH_y}^{\prime}-r_{O_2}^{\prime}

N_C=r_{CO}^{\prime}+r_{CH_4}^{\prime}+2r_{C_2H_4}^{\prime}+\sum_{\mathrm{weitere}}x\,r_{C_xH_y}^{\prime}+r_{CO_2}^{\prime},\quad\sigma=\frac{O_m}{N_C}

Oₘ in kmol O₂/kmol Brenngas bzw. m³ₙ O₂/m³ₙ Brenngas. Die separat angegebenen Kohlenwasserstoffe nicht nochmals in die Summe aufnehmen.

Trockenes und feuchtes Abgas

Formel

r_{CO_2}+r_{O_2}+r_{N_2}+r_{CO}+r_{CH_4}+r_{H_2}=1

V_f=(1+Y_{H_2O})V_t,\qquad N_{CO_2}=V_t\,r_{CO_2}

Vt: trockenes Abgas nach Abtrennung des Wassers. YH₂O ist die Wasserdampfmenge bezogen auf die trockene Abgasmenge; sie ist kein Anteil am feuchten Gesamtgas. Volumen- und Molbasis durchgehend gleich halten.

Kohlenstoffbilanz und trockene Abgasmenge

Formel

N_C=V_t(r_{CO_2}+r_{CO}+r_{CH_4})+(1-\alpha)N_C

V_t=\frac{\alpha c/12}{r_{CO_2}+r_{CO}+r_{CH_4}}\quad\left[\frac{\mathrm{kmol}}{\mathrm{kg\ B}}\right]

V_{t,n}=\frac{1{,}867\,\alpha c}{r_{CO_2}+r_{CO}+r_{CH_4}}\quad\left[\frac{\mathrm{m_n^3}}{\mathrm{kg\ B}}\right]

α ist der umgesetzte Anteil des Brennstoffkohlenstoffs; (1 − α)c ist der Rußanteil. Messwerte in Vol.-% zuerst durch 100 teilen.

Stickstoffbilanz und Stickstoffcharakteristik

Formel

0{,}79\lambda L_m+\frac n{28}=V_t r_{N_2}

\nu=\frac{n/28}{c/12}

V_t=\frac{c/12}{r_{N_2}}\left(\nu+\frac{0{,}79}{0{,}21}\lambda\sigma\right)

ν ist die Stickstoffcharakteristik des Brennstoffes. Stickstoff wird im vereinfachten Modell als inert betrachtet.

Luftfaktor aus der trockenen Abgasanalyse

Formel

\lambda=\frac{0{,}21}{0{,}79\sigma}\left(\frac{\alpha r_{N_2}}{r_{CO_2}+r_{CO}+r_{CH_4}}-\nu\right)

Gilt im vereinfachten Stoffmodell des Skripts. Bei n = 0 ist ν = 0; bei rußfreier Verbrennung α = 1.

Wasseranteil und allgemeine Kontrollgleichung

Formel

Y_{H_2O}=\frac{h/2+w/18}{V_t}-2r_{CH_4}-r_{H_2}

\frac{\alpha(r_{CO_2}+r_{O_2}+\tfrac12r_{CO}-\tfrac12r_{H_2}-r_{CH_4})}{r_{CO_2}+r_{CO}+r_{CH_4}}=(\lambda-1)\sigma+1

Für die schwefelfreie Vereinfachung s = 0, wie auf S. 185. Die vorgesehene S. 184 fehlt inhaltlich: An ihrer Stelle steht eine Kopie von S. 174; Gl. 629–633 sind deshalb nicht verfügbar.

Feuerungskontrolle ohne H₂ und CH₄ im Abgas

Formel

V_t=\frac{\alpha c/12}{r_{CO_2}+r_{CO}}

\frac{\alpha(1-r_{CO_2}-r_{O_2}-r_{CO})}{r_{CO_2}+r_{CO}}=\frac{0{,}79}{0{,}21}\lambda\sigma+\nu

\frac{\alpha(r_{CO_2}+r_{O_2}+\tfrac12r_{CO})}{r_{CO_2}+r_{CO}}=(\lambda-1)\sigma+1

Vereinfachte Kontrolle anhand der CO₂-, CO- und O₂-Messung; H₂ = CH₄ = 0 und das schwefelfreie Bilanzmodell beachten.

Heizwert bei konstantem Druck bzw. Volumen

Definition

Q_p=H_{\mathrm{nach}}-H_{\mathrm{vor}},\qquad H_{\mathrm{Heiz},p}=-Q_p=H_{\mathrm{vor}}-H_{\mathrm{nach}}

H_{\mathrm{Heiz},v}=U_{\mathrm{vor}}-U_{\mathrm{nach}}

H_{\mathrm{Heiz},p}-H_{\mathrm{Heiz},v}=p(V_{\mathrm{vor}}-V_{\mathrm{nach}})

Heizwerte sind positiv als frei werdende Verbrennungswärme definiert. Die Größen sind auf dieselbe Brennstoffmenge zu beziehen. Das Skript verwendet dafür ein eigenes Heizwertsymbol, hier zur Lesbarkeit HHeiz.

Temperaturabhängigkeit des Heizwertes

Formel

H_{\mathrm{Heiz}}(t)=H_{\mathrm{Heiz}}(0)+\sum_iN_i^{\prime}\int_0^tC_{p,i}^{\prime}\,\mathrm dt-\sum_jN_j\int_0^tC_{p,j}\,\mathrm dt

Strich: Stoffmengen vor der Verbrennung; ohne Strich: Produkte. Die Beziehung fasst die Enthalpiekorrekturen von Gl. 642b–644 zusammen.

Oberer und unterer Heizwert

Definition

H_u=H_o-Wr,\qquad W=9h+w\quad\left[\frac{\mathrm{kg\ Wasser}}{\mathrm{kg\ B}}\right]

Ho enthält die Kondensationswärme des entstehenden Wassers; Hu setzt Wasser in den Abgasen dampfförmig an. r muss zum verwendeten Bezugszustand passen.

Heizwert von Gasgemischen und Verbandsformel

Formel

H_{o,\mathrm{Gemisch}}=\sum_i r_i H_{o,i},\qquad H_{u,\mathrm{Gemisch}}=\sum_i r_i H_{u,i}

H_u\approx33900c+117000\left(h-\frac o8\right)+10500s-2500w\quad\left[\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}\right]

Gasgemischformel für gleiche Bezugsbedingungen und volumenbezogene Heizwerte. Die Verbandsformel für feste Brennstoffe ist eine grobe Näherung.

Adiabate Verbrennungstemperatur

Formel

H_u(0)+t^{\prime}\sum_iN_i^{\prime}[C_{p,i}^{\prime}]_0^{t^{\prime}}=t^{\prime\prime}\sum_jN_j[C_{p,j}]_0^{t^{\prime\prime}}

t^{\prime\prime}=\frac{H_u(0)+t^{\prime}\sum_iN_i^{\prime}[C_{p,i}^{\prime}]_0^{t^{\prime}}}{\sum_jN_j[C_{p,j}]_0^{t^{\prime\prime}}}

Ohne äußere Wärmeabfuhr, unverbrannte Reste und merkliche Dissoziation. Wegen der temperaturabhängigen mittleren Wärmekapazitäten iterativ berechnen. Alle Energien und Stoffmengen auf dieselbe Brennstoffbasis beziehen.

Fühlbare Abgaswärme und Unverbranntes

Formel

Q_f=(t_2-t_1)\sum_iN_i[C_{p,i}]_{t_1}^{t_2}

Q_u=V_t r_{CO}H_{CO}+(1-\alpha)cH_C\quad(r_{H_2}=r_{CH_4}=0)

Qf: Verlust durch gegenüber der Umgebung heißes Abgas. Qu: Verlust durch chemische Energie im CO und Ruß. Heizwerte mit zur Mengenbasis passenden Einheiten einsetzen.

Irreversibilität der Verbrennung

Formel

|E_{\mathrm{Abgas}}|=|E_{\mathrm{Brenngemisch}}|-T_0\Delta S_{\mathrm{ges}}

Die bei der Verbrennung erzeugte Entropie vermindert die Arbeitsfähigkeit. Energieerhaltung allein erfasst diesen Qualitätsverlust nicht.

18 · Feuchte Luft

Wassergehalt, h-x-Diagramm und Luftbehandlung

Skript S. 191–202

Feuchte Luft und Bezugsmasse

Definition

Gemisch aus trockener Luft und Wasser, das als Dampf, Flüssigkeit oder Eis auftreten kann. Alle spezifischen Enthalpien und Wassergehalte dieses Kapitels beziehen sich auf 1 kg trockene Luft. Die Gesamtmasse ist L(1 + x).

Wassergehalt und molarer Wassergehalt

Definition

x=\frac WL\quad\left[\frac{\mathrm{kg\ Wasser}}{\mathrm{kg\ trockene\ Luft}}\right],\qquad \kappa_w=\frac{W/18}{L/29}

x\approx0{,}622\,\kappa_w,\quad\kappa_w\approx1{,}61x

Hier ist x kein Nassdampf-Massenanteil und kann auch größer als 1 werden. κw steht für den im Skript κ genannten molaren Wassergehalt, nicht für cₚ/cᵥ.

Dampfpartialdruck und Wassergehalt

Formel

p=p_L+p_d,\qquad\kappa_{w,d}=\frac{p_d}{p-p_d}

x_d=0{,}622\frac{p_d}{p-p_d},\qquad p_d=p\frac{x_d}{0{,}622+x_d}

Gilt für dampfförmiges Wasser und ideales Gasverhalten der beiden Gaskomponenten. Flüssiges Wasser nicht in diese Gasgleichung einsetzen.

Sättigungswassergehalt

Definition

x_g=0{,}622\frac{p_s(T)}{p-p_s(T)},\quad\kappa_{w,g}=\frac{p_s(T)}{p-p_s(T)}

Gültig für pₛ(T) < p. xg ist die maximal dampfförmig enthaltene Wassermenge pro kg trockene Luft; zusätzliches Wasser bildet Nebel bzw. Eis.

Relative Feuchte und Sättigungsgrad

Definition

\varphi=\frac{p_d}{p_s(T)},\qquad\chi=\frac{x_d}{x_g}

\chi=\varphi\frac{p-p_s}{p-\varphi p_s},\qquad\chi\approx\varphi\quad(p_s\ll p)

Für ungesättigte Luft 0 ≤ φ ≤ 1; Prozentangaben entsprechend mit 100 multiplizieren. Relative Feuchte und Sättigungsgrad sind im Allgemeinen nicht identisch.

Enthalpie von trockener Luft und Wasserdampf

Formel

h_L=c_{pL}t,\quad h_d=r_0+c_{pd}t

h=c_{pL}t+x_d(r_0+c_{pd}t)

h_g=c_{pL}t+x_g(r_0+c_{pd}t)

Skriptwerte: cpL = 1,004; cpd = 1,92 kJ/(kg·K); r₀ = 2502 kJ/kg. t in °C, h in kJ/kg trockene Luft; Enthalpienullpunkt bei flüssigem Wasser und trockener Luft bei 0 °C.

Nebel, Eisnebel und allgemeine Enthalpie

Formel

h_w=c_wt,\quad h_s=-r_s+c_st

x=x_d+x_w+x_s

h=c_{pL}t+x_d(r_0+c_{pd}t)+x_wc_wt+x_s(-r_s+c_st)

Skriptwerte: cw = 4,186; cs = 2,1 kJ/(kg·K); rs = 335 kJ/kg. Bei Wasser- oder Eisüberschuss ist der Dampfanteil an der jeweiligen Phasengrenze gesättigt.

Steigungen im h-x-Diagramm

Formel

\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)_t=r_0+c_{pd}t\quad\text{ungesättigt}

\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)_t=c_wt\quad\text{Wassernebel}

\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)_t=-r_s+c_st\quad\text{Eisnebel}

\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)_{t=0,\mathrm{unges.}}=r_0,\qquad\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)_{t=0,\mathrm{Eis}}=-r_s

Der schräge x-Maßstab des Mollier-Diagramms macht die ungesättigte 0-°C-Isotherme horizontal. Bei anderem Gesamtdruck muss die Sättigungslinie neu berechnet werden.

Dichte ungesättigter feuchter Luft

Formel

\rho=\rho_L+\rho_d=\frac{p-p_d}{R_LT}+\frac{p_d}{R_dT}

\rho=\frac{p}{R_LT}-\left(\frac1{R_L}-\frac1{R_d}\right)\frac{p_d}{T}=\frac{(1+x_d)p}{(R_L+x_dR_d)T}

RL ≈ 287 und Rd ≈ 461,5 J/(kg·K), Druck in Pa, Temperatur in K ⇒ Dichte in kg/m³. Bei gleichem p und T ist feuchtere ungesättigte Luft weniger dicht.

Dichte übersättigter Luft mit Wassernebel

Formel

\rho\approx\frac{(1+x)p}{(R_L+x_gR_d)T}

Gesamtwassergehalt x = xg + xw; Flüssigkeitsvolumen gegenüber dem Gasvolumen vernachlässigt. Die Gasdruckbilanz enthält nur xg, die Gesamtmasse auch xw.

Taupunkt

Definition

Temperatur, bei der die Luft bei Abkühlung mit zunächst konstantem Wassergehalt die Sättigung erreicht. Am Taupunkt gilt pₛ(Tτ) = pd. Bei weiterer Abkühlung kondensiert Wasser.

Abkühlung, Entfeuchtung und Wiedererwärmung

Formel

x_w=x_1-x_g(t_3,p)

q_{12}=h_2-h_1,\quad q_{13}=h_3-h_1,\quad q_{3^{\prime}4}=h_4-h_{3^{\prime}}

Im Skript führt Abkühlung 1→3 in das Nebelgebiet; nach Abscheidung des Wassers bleibt 3′. Die Kühlbilanz mit h₃ enthält das mitgeführte Kondensat; bei direkter Abfuhr zusätzlich dessen Enthalpiestrom bilanzieren. Wärmen pro kg trockene Luft.

Mischen zweier feuchter Luftströme

Formel

L_m=L_1+L_2,\quad L_mx_m=L_1x_1+L_2x_2

L_mh_m=L_1h_1+L_2h_2

x_m=\frac{L_1x_1+L_2x_2}{L_1+L_2},\quad h_m=\frac{L_1h_1+L_2h_2}{L_1+L_2}

L₁ und L₂ sind trockene Luftmengen bzw. trockene Luftmassenströme. Die Mischung kann auch bei zwei ungesättigten Zuströmen in das Nebelgebiet fallen.

Mischgerade und Hebelgesetz

Formel

l_1=\frac{L_1}{L_m},\quad l_2=\frac{L_2}{L_m},\quad l_1+l_2=1

x_m=l_1x_1+l_2x_2,\quad h_m=l_1h_1+l_2h_2

l_1=\frac{x_2-x_m}{x_2-x_1},\quad l_2=\frac{x_m-x_1}{x_2-x_1}

Der Mischpunkt liegt auf der geraden Verbindung der Ausgangspunkte im h-x-Diagramm. Bei x₁ = x₂ die Wassergehalts-Quotienten nicht verwenden; über Enthalpie bzw. die Massenanteile rechnen.

Mischung mit Wärmezufuhr

Formel

h_{m^{\prime}}=h_m+\frac{Q}{L_m}

h_{1^{\prime}}=h_1+\frac{Q}{L_1},\qquad h_{2^{\prime}}=h_2+\frac{Q}{L_2}

Q und L auf denselben Zeitraum beziehen; bei Strömen entsprechend Q̇/L̇. Der Wassergehalt bleibt durch reine Wärmezufuhr unverändert.

Beimengen von Wasser oder Wasserdampf

Formel

L(x_m-x_1)=W,\qquad L(h_m-h_1)=Wh_w

\frac{h_m-h_1}{x_m-x_1}=h_w

x_m-x_1=\frac DL,\quad\frac{h_m-h_1}{x_m-x_1}=h_d\quad\text{(Dampfzugabe)}

Die Enthalpie des zugesetzten Wassers oder Dampfes bestimmt die Steigung der Zustandsänderungsgeraden. Wasser und Dampf besitzen keinen endlichen x-Punkt im Diagramm, da sie keine trockene Luft enthalten.

Verdunstung, Kühlgrenze und Psychrometer

Formel

h_K-h_1=(x_K-x_1)h_w(t_K),\qquad x_K=x_g(t_K,p)

Le=\frac{\sigma_vc_p}{\alpha}\approx1

K ist die adiabate Kühlgrenze bzw. Feuchtkugelgrenze des Luftzustands. Beim Psychrometer misst das trockene Thermometer die Lufttemperatur, das befeuchtete die Kühlgrenzentemperatur. Die vereinfachte Diagrammauswertung setzt den Lewis-Faktor Le ≈ 1 voraus. σv ist die Verdunstungszahl, α die Wärmeübergangszahl, mit zueinander passenden Einheiten.

19 · Einheiten, Geometrie und Mechanik

Die zusätzlichen Grundlagen für die Rechenaufgaben

Ergänzung für die bereitgestellten Übungsblätter

Temperaturskalen: Kelvin, Fahrenheit, Rankine, Réaumur

Formel

T/\mathrm K=t_C/{}^{\circ}\mathrm C+273{,}15

t_F/{}^{\circ}\mathrm F=\tfrac95\,t_C/{}^{\circ}\mathrm C+32

T_R/{}^{\circ}\mathrm R=\tfrac95\,T/\mathrm K

t_{\text{Ré}}/{}^{\circ}\text{Ré}=\tfrac45\,t_C/{}^{\circ}\mathrm C

°R ist ohne ausgeschriebenen Skalennamen mehrdeutig. International bezeichnet es gewöhnlich Rankine; historische deutschsprachige Aufgaben können Réaumur meinen. Beide Varianten werden in der Musterlösung angegeben. Temperaturdifferenzen ohne Nullpunktversatz umrechnen.

Quelle: NIST: Celsius, Fahrenheit und Rankine

Musterlösungen: B1 · Aufgabe 1

Für diese Aufgaben wichtige Umrechnungen

Formel

1\ \mathrm{mbar}=1\ \mathrm{hPa}=100\ \mathrm{Pa},\quad1\ \mathrm{bar}=10^5\ \mathrm{Pa}

1\ \mathrm l=1\ \mathrm{dm^3}=10^{-3}\ \mathrm{m^3},\quad1\ \mathrm{cm^2}=10^{-4}\ \mathrm{m^2}

c[\mathrm{m/s}]=c[\mathrm{km/h}]/3{,}6,\quad1\ \mathrm{kg/dm^3}=1000\ \mathrm{kg/m^3}

1\ \mathrm{kWh}=3600\ \mathrm{kJ},\quad1\ \mathrm{kW}=1\ \mathrm{kJ/s}

In Strömungs- und Kraftgleichungen zunächst SI-Einheiten verwenden. Die Geschwindigkeit zum Quadrat hat die Einheit J/kg, nicht kJ/kg.

Musterlösungen: B1 · Aufgabe 2 · B1 · Aufgabe 3 · B1 · Aufgabe 6 · B1 · Aufgabe 7 · S2 · Aufgabe 3

Kreis, Zylinder, Kegel und Kugel

Formel

A_{\mathrm{Kreis}}=\pi r^2=\frac{\pi d^2}{4}

V_{\mathrm{Zylinder}}=Ah,\qquad V_{\mathrm{Kegel}}=\frac13Ah

V_{\mathrm{Kugel}}=\frac43\pi r^3=\frac{\pi d^3}{6}

m=\rho V,\qquad F_G=mg,\qquad\gamma=\rho g

γ ist die Wichte in N/m³. Bei einem teilweise gefüllten Behälter zuerst die tatsächliche Flüssigkeitsgeometrie bestimmen; eine eingetauchte Kugel vergrößert die vorhandene Wassermasse nicht.

Musterlösungen: B1 · Aufgabe 3 · S1 · Aufgabe 2 · S2 · Aufgabe 1 · S2 · Aufgabe 4

Füllhöhe eines Kegel-Zylinder-Behälters

Formel

V_K=\frac{AH_K}{3},\qquad V_{\max}=V_K+AH_Z

V(y)=\frac{A y^3}{3H_K^2}\quad(0\le y\le H_K)

y(V)=\begin{cases}(3H_K^2V/A)^{1/3},&V\le V_K\\H_K+(V-V_K)/A,&V>V_K\end{cases}

Kegelspitze unten; A ist der Querschnitt am Übergang zum Zylinder. Die absolute Wasserhöhe lautet z = zKegelspitze + y. Oberhalb des Kegels steigt der Spiegel linear mit dem Volumen.

Musterlösungen: S1 · Aufgabe 2

Kraft, Beschleunigung und Arbeit

Formel

F_{\mathrm{res}}=ma,\quad W=F s\quad(F=\mathrm{konst.},\ F\parallel s)

c_2^2-c_1^2=2as,\qquad a=\frac{c_2^2-c_1^2}{2s}

W=\frac m2(c_2^2-c_1^2),\qquad c=s/\Delta\tau\quad\text{bei konstanter Geschwindigkeit}

Die für eine Beschleunigung berechnete Kraft ist die resultierende Kraft. Luftwiderstand und Rollwiderstand sind in der Fahrzeugaufgabe nicht angegeben und werden vernachlässigt.

Musterlösungen: S2 · Aufgabe 3 · B1 · Aufgabe 3

20 · Hydrostatik, Druckkräfte und Auftrieb

Ruhedruck, hydraulische Presse und verdrängtes Volumen

Ergänzung für die bereitgestellten Übungsblätter

Absolutdruck, Überdruck und Druckkraft

Definition

p_{\text{ü}}=p_{\mathrm{abs}}-p_{\mathrm{amb}},\quad p_{\mathrm{abs}}=p_{\mathrm{amb}}+p_{\text{ü}}

F=pA\quad\text{bei gleichmäßigem Druck},\qquad F_{\mathrm{netto}}=(p_{\mathrm{innen}}-p_{\text{außen}})A

Ein negativer Überdruck ist ein Druck unter Umgebungsdruck. In Gasgleichungen immer Absolutdruck einsetzen. Netto-Kräfte ergeben sich aus der Druckdifferenz auf beiden Seiten einer Fläche.

Musterlösungen: B1 · Aufgabe 4 · B1 · Aufgabe 6 · B1 · Aufgabe 7 · S2 · Aufgabe 4

Hydrostatisches Grundgesetz

Formel

\frac{\mathrm dp}{\mathrm dz}=-\rho g,\qquad p_2-p_1=\rho g(z_1-z_2)

p(h)=p_{\text{Oberfläche}}+\rho gh,\qquad h=\frac{\Delta p}{\rho g}

z zählt nach oben, h ist eine Tiefe nach unten. Gilt bei ruhender Flüssigkeit und konstanter Dichte. Für sehr große Wassertiefen ist die konstante Dichte nur die in der Aufgabe verlangte Näherung.

Musterlösungen: B1 · Aufgabe 2 · B1 · Aufgabe 4 · B1 · Aufgabe 7 · S1 · Aufgabe 2

Pascal-Prinzip und hydraulische Presse

Formel

\Delta p=\frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2},\quad F_2=F_1\frac{A_2}{A_1}

A_1s_1=A_2s_2,\qquad F_1s_1=F_2s_2

Gleich hohe Kolben, inkompressible Flüssigkeit, keine Reibung. Größere Kraft wird durch kleineren Weg ausgeglichen; die Presse erzeugt keine Energie. Bei unterschiedlichen Höhen den hydrostatischen Druckanteil berücksichtigen.

Musterlösungen: B1 · Aufgabe 6

Archimedisches Prinzip

Definition

F_A=\rho_FgV_{\text{verdrängt}},\qquad F_{\mathrm{Anzeige}}=mg-F_A

V=\frac{F_{\mathrm{Luft}}-F_{\mathrm{untergetaucht}}}{\rho_Fg}

\rho_K=\rho_F\frac{F_{\mathrm{Luft}}}{F_{\mathrm{Luft}}-F_{\mathrm{untergetaucht}}}

Die letzten zwei Gleichungen gelten für vollständiges Eintauchen und vernachlässigbaren Luftauftrieb. Auftrieb ist das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit.

Musterlösungen: B1 · Aufgabe 8 · B1 · Aufgabe 3

21 · Manometer und Venturi-Auswertung

Flüssigkeitssäulen und unterschiedliche Strömungsquerschnitte

Ergänzung für die bereitgestellten Übungsblätter

Schrägrohrmanometer mit Behälterkorrektur

Formel

\Delta h=l\sin\alpha+\Delta h_B,\quad A_B\Delta h_B=A_Rl

\Delta p=\rho_M g l\left(\sin\alpha+\frac{A_R}{A_B}\right)=\rho_M g l\left(\sin\alpha+\frac{d^2}{D^2}\right)

l ist die Meniskusverschiebung entlang des Rohres gegenüber dem unbelasteten Zustand. Auch der Meniskus im Vorratsbehälter sinkt ab. Bei sehr großer Behälterfläche vereinfacht sich die Gleichung zu Δp = ρM g l sinα; Gasdichte vernachlässigt.

Musterlösungen: B1 · Aufgabe 2

Differenzmanometer mit schwerer Sperrflüssigkeit

Formel

p_2-p_1=(\rho_M-\rho_F)g\Delta h\quad(z_1=z_2)

\left(\frac{p_2}{\rho_Fg}+z_2\right)-\left(\frac{p_1}{\rho_Fg}+z_1\right)=\left(\frac{\rho_M}{\rho_F}-1\right)\Delta h

Das Vorzeichen von Δh ist so gewählt, dass die piezometrische Höhe an Stelle 2 größer ist. Bei Wasser über Quecksilber zählt die Dichtedifferenz, nicht allein die Quecksilberdichte.

Musterlösungen: B2 · Aufgabe 13

Venturi bei verlustfreiem Querschnittswechsel

Formel

A_1c_1=A_2c_2=\dot V,\qquad p_1+\tfrac12\rho c_1^2=p_2+\tfrac12\rho c_2^2

\dot V=\sqrt{\frac{2(p_1-p_2)}{\rho(1/A_2^2-1/A_1^2)}}

Hier ist Stelle 1 der große und Stelle 2 der kleine Querschnitt, beide auf derselben Höhe. Der kleine Querschnitt besitzt die höhere Geschwindigkeit und den niedrigeren statischen Druck. Die Bogenverluste außerhalb der Messstrecke werden separat bilanziert.

Musterlösungen: B2 · Aufgabe 13

22 · Viskosität und Kugelfall

Stokes-Reibung bei kleiner Reynolds-Zahl

Ergänzung für die bereitgestellten Übungsblätter

Dynamische und kinematische Viskosität

Definition

\tau=\eta\frac{\partial c_t}{\partial n},\quad\nu=\frac\eta\rho

[\eta]=\mathrm{Pa\,s},\quad[\nu]=\mathrm{m^2/s},\quad Re=\frac{\rho c d}{\eta}=\frac{cd}{\nu}

η bezeichnet hier die dynamische Viskosität; in Maschinenkapiteln steht derselbe Buchstabe für einen Wirkungsgrad. Newtonsches Fluid vorausgesetzt.

Musterlösungen: B1 · Aufgabe 3

Stokes-Gesetz und Kugelfallviskosimeter

Formel

F_R=6\pi\eta r c=3\pi\eta dc

mg-\rho_FV_Kg-3\pi\eta dc=0\quad\text{bei Endgeschwindigkeit}

\eta=\frac{(m-\rho_FV_K)g}{3\pi dc}=\frac{(\rho_K-\rho_F)gd^2}{18c},\quad c=\frac{s}{\Delta\tau}

Voraussetzungen: langsame laminare Umströmung (Re ≪ 1), konstante Sinkgeschwindigkeit und vernachlässigbare Wand-/Endeffekte. Den Auftrieb nicht vergessen. Aus den Aufgabendaten folgt Re ≈ 0,068; die Stokes-Näherung passt damit.

Musterlösungen: B1 · Aufgabe 3

23 · Strömung, Bernoulli und Pumpen

Volumenstrom, Verlusthöhe und veränderlicher Wasserstand

Ergänzung für die bereitgestellten Übungsblätter

Kontinuität

Formel

\dot m=\rho Ac,\quad\dot V=Ac,\quad c=\frac{\dot V}{A}

\rho_1A_1c_1=\rho_2A_2c_2;\quad A_1c_1=A_2c_2\quad(\rho=\mathrm{konst.})

Die Volumenströme eines Gases sind bei verschiedenen Dichten nicht gleich; sein Massenstrom bleibt stationär erhalten.

Musterlösungen: B2 · Aufgabe 12 · B2 · Aufgabe 13 · S1 · Aufgabe 2 · B6 · Aufgabe 35 · B4 · Aufgabe 26

Bernoulli und Druckanteile

Formel

\frac p\rho+\frac{c^2}{2}+gz=\mathrm{konst.}

p_{\mathrm{dyn}}=\frac12\rho c^2,\quad p_{\mathrm{tot}}=p_{\mathrm{stat}}+p_{\mathrm{dyn}}

p_{\text{stat,ü}}=\rho g(z_{\mathrm{Spiegel}}-z_{\mathrm{Rohr}})-\frac12\rho c^2

Stationäre, inkompressible, reibungsfreie Strömung ohne Maschine zwischen den betrachteten Stellen. Die letzte Form gilt für einen offenen großen Speicher mit vernachlässigbarer Spiegelgeschwindigkeit. Statischer und dynamischer Druck beziehen sich auf dieselbe Stelle.

Musterlösungen: S1 · Aufgabe 2 · B2 · Aufgabe 13

Bernoulli mit Maschine und Einzelverlusten

Formel

\frac{p_1}{\rho g}+\frac{c_1^2}{2g}+z_1+H_P=\frac{p_2}{\rho g}+\frac{c_2^2}{2g}+z_2+h_V+H_T

\Delta p_V=\zeta\frac{\rho c_{\mathrm{ref}}^2}{2},\quad h_V=\sum_i\zeta_i\frac{c_{\mathrm{ref},i}^2}{2g}

HP: Pumpenförderhöhe; HT: von einer Turbine entzogene Energiehöhe. Bei Verlustziffern immer die zugehörige Bezugsgeschwindigkeit verwenden. Zwei Bögen mit gleichem ζ und gleichem Rohrdurchmesser liefern 2ζ c²/(2g).

Musterlösungen: B2 · Aufgabe 13

Hydraulische Leistung, Wellenleistung und Füllzeit

Formel

P_{\mathrm{hyd}}=\rho g\dot VH,\qquad P_{\mathrm{Welle}}=\frac{\rho g\dot VH}{\eta_P}

V(\tau)=V_0+(\dot V_{\mathrm{ein}}-\dot V_{\mathrm{aus}})\tau

\Delta\tau=\frac{V_f-V_0}{\dot V_{\mathrm{ein}}-\dot V_{\mathrm{aus}}}

Die Nettofüllrate ist maßgebend für den Anstieg des Wasserspiegels. Für die Pumpenleistung zählt dagegen der tatsächlich gepumpte Zufluss.

Musterlösungen: S1 · Aufgabe 2 · B2 · Aufgabe 13

Pumpenenergie bei veränderlicher Förderhöhe

Formel

E_P=\frac{\rho g}{\eta_P}\int_{V_0}^{V_f}H(V)\,\mathrm dV\quad(\dot V_{\mathrm{aus}}=0)

E_P=\frac{\rho g}{\eta_P}\left(H_0\Delta V+\frac{\Delta V^2}{2A}\right)=\frac{\rho g\Delta V}{\eta_P}\frac{H_0+H_f}{2}

E_P=\frac{\rho g}{\eta_P}\frac{\dot V_{\mathrm{ein}}}{\dot V_{\mathrm{ein}}-\dot V_{\mathrm{aus}}}\int_{V_0}^{V_f}H(V)\,\mathrm dV\quad\text{bei konstanten Zu-/Abflüssen}

Die mittlere-Höhen-Form gilt für einen zylindrischen Füllabschnitt und konstante Quellenhöhe. Bei einem Kegelabschnitt die tatsächliche Funktion H(V) einsetzen. Eine nur am Anfang gegebene Förderhöhe darf nicht ohne Kennzeichnung für den ganzen Füllvorgang konstant gesetzt werden.

Musterlösungen: S1 · Aufgabe 2

24 · Wärmegleichgewicht und Zeitbilanzen

Feste Körper, Phasenwechsel und wechselnde Heizleistung

Ergänzung für die bereitgestellten Übungsblätter

Mischtemperatur von Körpern

Formel

\sum_i m_ic_i(T_m-T_i)=0,\qquad T_m=\frac{\sum_i m_ic_iT_i}{\sum_i m_ic_i}

Q_i=m_ic_i(T_m-T_i),\qquad\sum_iQ_i=0

Isoliertes Gesamtsystem, keine Arbeit und keine Phasenänderung; Wärmekapazitäten konstant. Für temperaturabhängige Stoffwerte die Integrale der Wärmekapazitäten bilanzieren. Kelvin oder Celsius ist für dieses gewichtete Mittel gleichwertig.

Musterlösungen: S2 · Aufgabe 1

Variable Wärmekapazität und Materialgrenzen

Formel

Q=m\int_{T_1}^{T_2}c(T)\,\mathrm dT,\qquad Q_{\mathrm{Schmelzen}}=mL_s

Q=m\int_{T_1}^{T_m}c_s(T)\,\mathrm dT+mL_s+m\int_{T_m}^{T_2}c_l(T)\,\mathrm dT

Ein einzelner Mittelwert über ein großes Intervall bestimmt nicht exakt den Mittelwert eines kleineren Teilintervalls. Stahlwerte sind legierungsabhängig. Beispiel: Edelstahl 1.4301 besitzt laut Hersteller einen Schmelzbereich von etwa 1400–1450 °C; das ist kein Stoffwert für die unspezifizierte Kugel, zeigt aber die Grenze der Rechnung mit konstantem c bis rund 1671 °C.

Quelle: thyssenkrupp: Schmelzbereiche ausgewählter Edelstähle

Musterlösungen: S2 · Aufgabe 1 · B3 · Aufgabe 24

Adiabat erwärmen durch Rührarbeit

Formel

W_{\mathrm{zu}}=\Delta U=mc(T_2-T_1),\quad\Delta\tau=\frac{W_{\mathrm{zu}}}{P}

\Delta S=mc\ln\frac{T_2}{T_1}>0\quad(T_2>T_1)

Temperaturen im Logarithmus in Kelvin. Dissipation mechanischer Arbeit erhöht bei einem adiabaten System die Entropie und ist irreversibel.

Musterlösungen: S2 · Aufgabe 2 · B2 · Aufgabe 11

Erwärmen, Verdampfen und Überhitzen

Formel

Q_{\mathrm{bis\ Dampf}}=m c_w(T_s-T_0)+mr,\qquad Q_{\text{überhitzen}}=m\overline c_{p,d}(T_f-T_s)

\Delta\tau=\frac QP,\qquad Q=\sum_iP_i\Delta\tau_i

\tau_f=\begin{cases}Q/P_1,&Q\le P_1\tau_u\\\tau_u+(Q-P_1\tau_u)/P_2,&Q>P_1\tau_u\end{cases}

Keine Wärmeverluste und keine Wärmekapazität des Gefäßes; Sättigungstemperatur passend zum Druck. Bei offenem Topf wird in den Musterlösungen ungefähr Atmosphärendruck angenommen. τu ist die Zeit des Leistungswechsels.

Musterlösungen: S1 · Aufgabe 3

25 · Kolben, Totraum und Behälterfüllung

Die nötigen Prozessmodelle zusätzlich zu den Grundgleichungen

Ergänzung für die bereitgestellten Übungsblätter

Belasteter Kolben: Kräftegleichgewicht

Formel

p_{\mathrm{Gas}}=p_{\mathrm{oben}}+\frac{m_Kg+F_{\text{zusätzlich}}}{A}

R=\frac{p_{\mathrm{ref}}}{\rho_{\mathrm{ref}}T_{\mathrm{ref}}},\qquad V=\frac{mRT}{p_{\mathrm{Gas}}}

Reibungsfreier, quasistatischer Kolben. Der obere Außendruck muss mitgerechnet werden. Bei konstanten Lasten ist der Gasdruck konstant, sodass Wv = −p(V₂ − V₁).

Musterlösungen: S2 · Aufgabe 4

Kolbenstangenarbeit und Umgebungsdruck

Formel

W_{\mathrm{Stange}}=-\int_1^2(p-p_u)\,\mathrm dV=W_v+p_u(V_2-V_1)

W_{\mathrm{Stange,isoth}}=p_1V_1\ln\frac{V_1}{V_2}+p_u(V_2-V_1)

Kolbengewicht und Reibung vernachlässigt; pu konstant. Bei einer Kompression leistet auch der Außendruck Arbeit am Gas. Deshalb ist die zusätzlich an der Kolbenstange aufzubringende Arbeit kleiner als die gesamte Kompressionsarbeit des Gases.

Musterlösungen: B2 · Aufgabe 14

Gasentnahme aus einem Scheibengasbehälter

Formel

\frac{V_2}{V_1}=\frac{m_2T_2}{m_1T_1}\quad(p=\mathrm{konst.})

T_2=T_1\quad\Longrightarrow\quad V_2=V_1\frac{m_2}{m_1},\quad v_2=v_1

Bei unveränderlicher Scheibenlast und Scheibenfläche bleibt der Druck konstant. Eine Massenabnahme ist von der Kompression einer gleichbleibenden Gasmasse zu unterscheiden.

Musterlösungen: B1 · Aufgabe 5 · B2 · Aufgabe 15

Verdichtungsverhältnis mit Restvolumen

Formel

V_1=V_h+V_s,\quad V_2=V_s,\quad\varepsilon=1+\frac{V_h}{V_s}

V_s=\delta V_h\quad\Longrightarrow\quad\varepsilon=1+\frac1\delta

Das Anfangsvolumen enthält Hubraum plus Restvolumen. Für 18 % Restvolumen bezogen auf den Hubraum ist ε = 1 + 1/0,18, nicht 1/0,18.

Musterlösungen: B2 · Aufgabe 18

Kolbenkompressor mit Totraum: vier Teilprozesse

Formel

V_1=V_h+V_s,\quad V_2=V_1\pi_p^{-1/n},\quad V_3=V_s,\quad V_4=V_s\pi_p^{1/n}

\pi_p=p_2/p_1,\quad V_{\mathrm{frisch}}=V_1-V_4

\lambda_V=\frac{V_{\mathrm{frisch}}}{V_h}=1+C-C\pi_p^{1/n},\qquad C=V_s/V_h

1→2 polytrope Verdichtung; 2→3 isobares Ausschieben; 3→4 polytrope Rückexpansion der Totraumluft; 4→1 isobares Ansaugen. Hier ist λV ein Liefergrad, kein Luftfaktor. Positive Frischgasmenge vorausgesetzt.

Musterlösungen: B3 · Aufgabe 23

Kompressorarbeit je Umdrehung

Formel

W_{\mathrm{Zyklus}}=-\oint p\,\mathrm dV=\frac{n}{n-1}p_1V_{\mathrm{frisch}}\left(\pi_p^{(n-1)/n}-1\right)

m_{\text{gefördert}}=\rho_1V_{\mathrm{frisch}},\qquad P=W_{\mathrm{Zyklus}}\,f

Ein einfach wirkender Zylinder mit einem Arbeitsspiel pro Kurbelwellenumdrehung; f ist die Umdrehungszahl pro Sekunde. Nur die Kompressionskurve zu integrieren lässt Ansaugen, Ausschieben und Rückexpansion unberücksichtigt. n ≠ 1; für n = 1 ist der Grenzwert p₁Vfrisch lnπp.

Musterlösungen: B3 · Aufgabe 23

Adiabat füllen: anfangs evakuierter, starrer Behälter

Formel

\frac{\mathrm dU}{\mathrm d\tau}=\dot m_{\mathrm{ein}}h_{\mathrm{ein}},\quad Q=W=0

m_2u_2=\int h_{\mathrm{ein}}\,\mathrm dm=h_0m_2

u_2=h_0,\quad c_vT_2=c_pT_0,\quad T_2=\kappa T_0

Keine Wärmeaufnahme der Behälterwand, keine Austrittsmasse und vernachlässigbare äußere Energie. Der Zustrom bringt Enthalpie einschließlich Einschubarbeit mit. Dies ist eine instationäre offene Bilanz. Der Vorgang ist trotz äußerer Wärmedichtheit irreversibel.

Musterlösungen: B2 · Aufgabe 19

Luftstandard und spezifische Verbrennungswärme

Formel

c_p=c_v+R,\quad c_v=\frac R{\kappa-1},\quad Q=m_Lq_L

q_L\approx c_v(T_2-T_1)\quad\text{isochor},\qquad m_B/m_L\approx q_L/H_u

Für die Beispiele ohne eigene Luftstoffwerte wird R = 287,1 J/(kg·K), κ = 1,4 verwendet. Eine Wärmemenge ohne bekannte Masse ist nur spezifisch bestimmbar. Die Brennstoffmasse wird im einfachen Luftstandardmodell bei der Wärmekapazität vernachlässigt.

Musterlösungen: B3 · Aufgabe 21 · B3 · Aufgabe 22 · B3 · Aufgabe 24

26 · Entropiebilanz, Drossel und Düse

Mehrere Wärmequellen und kinetische Energie

Ergänzung für die bereitgestellten Übungsblätter

Stationäre Entropiebilanz mit mehreren Wärmeströmen

Formel

0=\sum_{\mathrm{ein}}\dot m s-\sum_{\mathrm{aus}}\dot m s+\sum_j\frac{\dot Q_j}{T_j}+\dot S_{\mathrm{erzeugt}}

\dot S_{\mathrm{erzeugt}}\ge0,\qquad\dot S_{\mathrm{erzeugt}}=-\sum_j\frac{\dot Q_j}{T_j}\quad\text{beim geschlossenen Kreisprozess}

Q̇j ist positiv bei Wärmezufuhr zum bilanzierten System. Ein Prozess ist thermodynamisch nur zulässig, wenn Energie- und Entropiebilanz gleichzeitig erfüllt werden. Grenztemperaturen in Kelvin einsetzen.

Musterlösungen: B4 · Aufgabe 27 · B4 · Aufgabe 28 · B4 · Aufgabe 29

Drosselung mit Geschwindigkeitsänderung

Formel

h_1+\frac{c_1^2}{2000}=h_2+\frac{c_2^2}{2000}\qquad[h]=\mathrm{kJ/kg}

c_2=c_1\frac{\rho_1A_1}{\rho_2A_2}\approx c_1\frac{p_1T_2A_1}{p_2T_1A_2}

h(T)\approx h_a+\frac{h_b-h_a}{T_b-T_a}(T-T_a)

Adiabatisch, keine Wellenarbeit, Höhenänderung vernachlässigt. Bei veränderlicher Geschwindigkeit ist die Gesamtenthalpie konstant; die statische Enthalpie allein bleibt dann nicht konstant. Die ideale Dichtebeziehung ist bei realen Enthalpiedaten eine zusätzliche Näherung.

Musterlösungen: B4 · Aufgabe 26

Adiabate reversible Düse

Formel

h_3+\frac{c_3^2}{2000}=h_4+\frac{c_4^2}{2000}

c_4=\sqrt{c_3^2+2000c_p(T_3-T_4)}\quad[c_p]=\mathrm{kJ/(kg\,K)}

\frac{T_4}{T_3}=\left(\frac{p_4}{p_3}\right)^{R/c_p},\quad T_{\mathrm{Stillstand}}=T+\frac{c^2}{2000c_p}

Eine Düse senkt die statische Temperatur durch Beschleunigung. Beim späteren Abbremsen kann die kinetische Energie wieder in innere Energie übergehen. Stillstands- und statische Temperatur unterscheiden.

Musterlösungen: B6 · Aufgabe 35

Zwei Stoffströme im isolierten Wärmeübertrager

Formel

\dot m_1(h_{1,\mathrm{aus}}-h_{1,\mathrm{ein}})+\dot m_2(h_{2,\mathrm{aus}}-h_{2,\mathrm{ein}})=0

\dot m_Wc_W(T_{W,\mathrm{ein}}-T_{W,\mathrm{aus}})=\dot m_Lc_{p,L}(T_{L,\mathrm{aus}}-T_{L,\mathrm{ein}})

Stationär, keine Wellenarbeit, Änderungen äußerer Energie vernachlässigt. Das Gesamtsystem ist offen und nach außen adiabat; die beiden Fluid-Teilsysteme tauschen untereinander Wärme aus.

Musterlösungen: S1 · Aufgabe 1 · B6 · Aufgabe 35

27 · Stoffdaten für die zusätzlichen Übungen

Wasser nach IAPWS-IF97 und die Ammoniak-Tafel des Blattes

Ergänzung für die bereitgestellten Übungsblätter

Stofftafeln und Näherungen konsistent verwenden

Definition

Bei realem Wasserdampf ersetzen konstante cₚ-Werte keine vollständige Zustandsgleichung. Für Aufgaben 31–33 sowie die Dichtevariante von 36 werden Werte nach IAPWS-IF97 bereitgestellt. In Aufgabe 37 und 38 gelten vorrangig die Tabellen des jeweiligen Aufgabenblattes; sie dürfen nicht stillschweigend mit anderen Nullpunkten oder Stoffmodellen vermischt werden.

Quelle: IAPWS: offizielle IF97-Formulierung

Musterlösungen: B5 · Aufgabe 31 · B5 · Aufgabe 32 · B5 · Aufgabe 33 · B7 · Aufgabe 36 · B7 · Aufgabe 37 · B8 · Aufgabe 38

Berechnete Wasserzustände für Aufgaben 31–33

Formel

p in bar, t in °C, h in kJ/kg, s in kJ/(kg·K), v in m³/kg. Aufgabe 31: f/g = Sättigungsflüssigkeit/-dampf bei 1 bar, a = x 0,6 bei 1 bar, b = isentroper Endzustand bei 100 bar. Aufgabe 32: a = x 0,98, dry = trocken gesättigt, b = 580 °C, alle 25 bar. Aufgabe 33: Zustände 1–4 gemäß Musterlösung. Die Zahlen sind aus IAPWS-IF97 berechnet und gerundet.

Aufgabe / Zustand	p	t	h	s	v
b5-31 / f	1.000	99.606	417.436	1.302560	0.001043
b5-31 / g	1.000	99.606	2674.950	7.358807	1.694023
b5-31 / a	1.000	99.606	1771.944	4.936308	1.016831
b5-31 / b	100.000	310.999	2328.496	4.936308	0.013038
b5-32 / a	25.000	223.956	2765.242	6.181942	0.078372
b5-32 / dry	25.000	223.956	2802.043	6.255973	0.079947
b5-32 / b	25.000	580.000	3641.635	7.545484	0.155477
33 / 1	1.000	99.606	417.436	1.302560	0.001043
33 / 2	20.000	99.737	419.418	1.302560	0.001042
33 / 3	20.000	500.000	3468.093	7.433474	0.175680
33 / 4	1.000	113.425	2703.293	7.433474	1.761445

Quelle: IAPWS-IF97

Musterlösungen: B5 · Aufgabe 31 · B5 · Aufgabe 32 · B5 · Aufgabe 33

Sättigungswerte und Datenwiderspruch in Aufgabe 36

Formel

p in bar, t in °C, h in kJ/kg, s in kJ/(kg·K), v in m³/kg. Die vorgegebene Dichte 909,090909 kg/m³ bedeutet v′ = 0,0011 m³/kg und damit einen Siedezustand bei 158,315 °C. Sie ist mit „oberhalb 170 °C“ nicht vereinbar. Die 170-°C-Zeilen zeigen nur einen gesonderten Grenzfall; sie lösen die unbestimmte Angabe „oberhalb“ nicht auf. Verdampfungswärme r = h″ − h′.

Variante / Zustand	p	t	h	s	v
Dichtevariante / Flüssigkeit	5.921031	158.315312	668.255528	1.925914	0.001100000
Dichtevariante / Dampf	5.921031	158.315312	2755.562301	6.763639	0.319549168
170 °C / Flüssigkeit	7.920532	170.000000	719.206398	2.041923	0.001114262
170 °C / Dampf	7.920532	170.000000	2767.893655	6.664934	0.242615796

Quelle: IAPWS-IF97

Musterlösungen: B7 · Aufgabe 36

Wasserdampftafel aus Aufgabe 37

Formel

p in bar, t in °C, v in m³/kg, h in kJ/kg, s in kJ/(kg·K). Originalwerte des Aufgabenblattes; für diese Rechnung gelten cW = 4,2 und cD = 2,8 kJ/(kg·K). Die vorgegebenen Näherungen liefern für 90 bar / 850 °C s = 7,543762, für 0,2 bar / x = 0,99 jedoch s = 7,835256 kJ/(kg·K). Diese Zustände können deshalb nicht durch eine isentrope Expansion verbunden sein. Die Musterlösung rechnet beide Varianten getrennt.

p	t	v′	v″	h′	h″	s′	s″
0.2	60.09	0.00102	7.6524	251.3	2608.9	0.8316	7.9060
90	303.31	0.00142	0.0205	1316.5	2741.6	3.2846	5.6762

Musterlösungen: B7 · Aufgabe 37

Reale Luftenthalpien aus Aufgabe 26

Formel

p in bar, T in K, h in kJ/kg. Diese Originaldaten sind für die Drosselaufgabe maßgebend. Bei 7 bar zwischen 290 und 300 K linear interpolieren: h(T) = 288,98 + 1,016·(T − 290). Für die Kontinuitätsrechnung mit kinetischer Energie wird die ideale thermische Gasgleichung nur als Dichtenäherung eingesetzt.

p [bar]	T [K]	h [kJ/kg]
10	300	298.49
7	290	288.98
7	300	299.14

Musterlösungen: B4 · Aufgabe 26

Ammoniak-Sättigungswerte aus Aufgabe 38

Formel

p in bar, t in °C, h in kJ/kg, s in kJ/(kg·K). Diese Werte sind direkt aus dem bereitgestellten Aufgabenblatt übernommen. Für Mischzustände die Nassdampf-Mischungsregel aus Kapitel 11 verwenden.

p	t	h′	h″	s′	s″
3	-9.2748	157.3215	1451.8703	0.8418	5.7470
12	30.8932	346.1412	1486.3573	1.5021	5.1375
42	80.6197	603.8568	1473.2564	2.2697	4.7272

Musterlösungen: B8 · Aufgabe 38

Isentrope Nassdampfkompression: technische oder Volumenarbeit

Formel

x_2=\frac{s_1-s_2^{\prime}}{s_2^{\prime\prime}-s_2^{\prime}},\quad h_2=h_2^{\prime}+x_2(h_2^{\prime\prime}-h_2^{\prime})

w_t=h_2-h_1,\quad w_v=u_2-u_1=(h_2-p_2v_2)-(h_1-p_1v_1)

Stationärer adiabater Verdichter: technische Arbeit Δh. Geschlossenes adiabates Kolbensystem: Volumenarbeit Δu. Eine h-s-Aufgabe wird hier primär als technische Arbeit interpretiert; die Musterlösung nennt beide Werte.

Musterlösungen: B5 · Aufgabe 31

Sättigungszustand aus Flüssigkeitsdichte

Formel

v^{\prime}=1/\rho^{\prime},\qquad v^{\prime}(T_s)=1/\rho^{\prime},\qquad p=p_s(T_s)

x=\frac{Q}{m r},\quad Q_{\mathrm{noch}}=mr-Q

Die Angabe „siedende Flüssigkeit“ bindet Dichte, Druck und Temperatur an die Sättigungskurve. Widersprechen sich diese Angaben, gibt es keinen gemeinsamen exakten Zustand; eine Rechenvariante muss die verwendete Bedingung offen benennen.

Musterlösungen: B7 · Aufgabe 36

28 · Rechenwege für Kreisprozesse

Diesel-Herleitung, Zwischenüberhitzung und gekoppelte Prozesse

Ergänzung für die bereitgestellten Übungsblätter

Diesel-Wirkungsgrad: Temperaturbeziehungen

Formel

T_2=T_1\varepsilon^{\kappa-1},\quad T_3=\varphi_E T_2

T_4=T_3\left(\frac{\varphi_E}{\varepsilon}\right)^{\kappa-1}=T_1\varphi_E^{\kappa}

\eta_D=1-\frac1\kappa\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}=1-\frac{\varphi_E^{\kappa}-1}{\kappa\varepsilon^{\kappa-1}(\varphi_E-1)}

1→2 und 3→4 isentrop, 2→3 isobar, 4→1 isochor. ε = v₁/v₂, φE = v₃/v₂ und v₄ = v₁. Die dritte Zeile folgt durch Einsetzen der ersten beiden Zeilen.

Musterlösungen: B6 · Aufgabe 34

Dampfkraftprozess mit Zwischenüberhitzung

Formel

q_{\mathrm{zu}}=(h_3-h_2)+(h_5-h_4)

w_T=(h_4-h_3)+(h_6-h_5),\quad w_P=h_2-h_1

q_{\mathrm{ab}}=h_1-h_6,\quad\eta=-\frac{w_T+w_P}{q_{\mathrm{zu}}}

Nummerierung für diese Ergänzung: 1 Kondensatorausgang, 2 Pumpenausgang, 3 Frischdampf, 4 Hochdruckturbinen-Ausgang, 5 Zwischenüberhitzer-Ausgang, 6 Niederdruckturbinen-Ausgang. Isentrope Expansion ist im T-s- und h-s-Diagramm senkrecht; Zwischenüberhitzung ist isobar.

Musterlösungen: B5 · Aufgabe 30

Adiabate Pumpe mit vorgegebener Temperaturerhöhung

Formel

\mathrm dh\approx c_w\,\mathrm dT+v\,\mathrm dp,\quad w_P=h_2-h_1\approx c_w(T_2-T_1)+v(p_2-p_1)

\Delta s_P\approx c_w\ln\frac{T_2}{T_1}

Inkompressible Näherung. Adiabatisch bedeutet nicht automatisch isentrop. Bei vorgegebener deutlicher Erwärmung darf die Arbeit nicht gleichzeitig pauschal durch vΔp ersetzt werden. Druck in kPa mit v in m³/kg liefert kJ/kg.

Musterlösungen: B7 · Aufgabe 37

Turbine treibt Kälteverdichter: Massenstromverhältnis

Formel

\dot m_A(h_4-h_5)=\dot m_B(h_8-h_7),\quad\frac{\dot m_A}{\dot m_B}=\frac{h_8-h_7}{h_4-h_5}

\dot m_B=\frac{\dot Q_0}{h_7-h_6},\quad\dot Q_{\mathrm{solar}}=\dot m_A(h_4-h_2)

h_9=\frac{\dot m_Ah_5+\dot m_Bh_8}{\dot m_A+\dot m_B},\quad\dot Q_K=(\dot m_A+\dot m_B)(h_1-h_9)

Nummerierung von Aufgabe 38. Pumpenarbeit wird gemäß Teil c vernachlässigt. Im dafür konsistent reduzierten Modell wird h₂ ≈ h₁ gesetzt; für Teil b kann die kleine Pumpenenthalpieänderung separat ausgewiesen werden.

Musterlösungen: B8 · Aufgabe 38

Reale Turbine und realer Kälteverdichter

Formel

h_5^*=h_4-\eta_{sT}(h_4-h_5),\quad h_8^*=h_7+\frac{h_8-h_7}{\eta_{sV}}

\eta_{\mathrm{th}}=\frac{h_4-h_5}{h_4-h_2},\qquad\epsilon_K=\frac{h_7-h_6}{h_8-h_7}

Nach Bestimmung der realen Endenthalpien alle Massenströme und Wärmeströme neu berechnen. Die Kälteleistung kann gleich bleiben, während der Solarwärmebedarf steigt.

Musterlösungen: B8 · Aufgabe 38

Zeichen	Bedeutung	Typische Einheit
A	Fläche	m²
c	Geschwindigkeit; im Stoffwertkontext auch spezifische Wärmekapazität	m/s; kJ/(kg·K)
cₚ, cᵥ	Spezifische Wärmekapazität bei p bzw. v = konstant	kJ/(kg·K)
cₙ	Polytrope spezifische Wärmekapazität	kJ/(kg·K)
Cₚ, Cᵥ	Molare Wärmekapazitäten	kJ/(kmol·K)
E, e	Exergie, im Skript als vorzeichenbehaftete Arbeit	kJ; kJ/kg
Eₐ	Äußere Energie: kinetisch und potenziell	kJ
Ekin, Epot, Eel	Kinetische, potenzielle und elektrische Energie	kJ
F	Kraft	N
f	Spezifische freie Energie u − Ts	kJ/kg
g	Erdbeschleunigung; bei Potenzialen freie Enthalpie h − Ts	m/s²; kJ/kg
gᵢ	Massenanteil im Gasgemisch	kg/kg
H, h	Enthalpie; in der Verbrennungslehre auch Heizwert mit Index u/o	kJ; kJ/kg
Hᵤ, Hₒ	Unterer / oberer Heizwert	kJ/kg; kJ/kmol; kJ/m³ₙ
L, Lₘ	Luftmenge / Mindestluftbedarf bei Verbrennung; trockene Luftmenge bei feuchter Luft	Basisabhängig
L₁, L₂	Trockene Luftmengen bzw. -massenströme vor der Mischung	kg; kg/s bzw. kg/h
Le	Lewis-Faktor	1
l₁, l₂	Anteile der trockenen Luftströme an der Mischung	1
M	Molmasse; im Original bei Verbrennung auch Molmenge	kg/kmol
m, ṁ	Masse / Massenstrom	kg; kg/s
N, Nᵢ	In der Entropieherleitung integrierender Nenner; hier Nᵢ bei Verbrennung: Molmenge	K; kmol je Bezugsmenge
n	Stoffmenge oder Polytropenexponent je nach Kapitel	kmol; 1
Nₐ	Teilchenzahlkonstante: im Skript „Loschmidtsche Zahl“ ≈ 6,023·10²⁶ Teilchen/kmol	1/kmol
Oₘ	Mindestsauerstoffbedarf	kmol/kg B; m³ₙ/kg B usw.
p, pᵢ	Gesamtdruck / Partialdruck	Pa, kPa, bar
pₛ, pₖ, pinv	Sättigungsdruck / kritischer Druck / Inversionsdruck	Pa, bar
P, Pₜ, Pₚ	Leistung / Turbinenleistung / Pumpenleistung	kW = kJ/s
Q, q, Q̇	Wärmemenge / spezifische Wärmeübertragung / Wärmestrom	kJ; kJ/kg; kW
Qf, Qu	Fühlbarer Wärmeverlust / Wärmeverlust durch Unverbranntes	kJ je Bezugsmenge
R, R̄	Individuelle / universelle Gaskonstante	kJ/(kg·K); kJ/(kmol·K)
r	Verdampfungswärme	kJ/kg
rᵢ	Raum- bzw. Molanteil eines idealen Gasgemisches	1
rₛ	Schmelzwärme von Eis	kJ/kg
S, s	Entropie / spezifische Entropie	kJ/K; kJ/(kg·K)
Sa, Si	Entropietransport / Entropieerzeugung	kJ/K
T, t	Absolute Temperatur / Celsius-Temperatur	K; °C
T₀, p₀	Umgebungszustand	K; Pa
Tₖ, Tₛ, Tinv	Kritische / Sättigungs- / Inversionstemperatur	K
V, v	Volumen / spezifisches Volumen	m³; m³/kg
Vₙ, VM	Normvolumen / molares Volumen	m³ₙ; m³/kmol
Vt, Vf	Trockenes / feuchtes Abgasvolumen bzw. entsprechende Molmenge	je kg oder kmol Brennstoff
W, w	Arbeit / spezifische Arbeit	kJ; kJ/kg
Wₐ, Wᵥ, Wᵣ	Äußere / Volumenänderungs- / Reibungsarbeit	kJ
Wₜ, Wₖ, Wₚ	Technische / Verdichter- / Pumpenarbeit	kJ
Wrev, Wirr, Wtv	Reversible / irreversible / Verlustarbeit	kJ
W, D	Bei feuchter Luft: zugesetzte Wasser- bzw. Dampfmenge	kg
x	Nassdampf: Dampf-Massenanteil; feuchte Luft: Wasser pro trockene Luft	1; kg/kg L
xd, xg, xw, xs	Dampf-, Sättigungs-, Flüssigwasser- und Eisgehalt pro kg trockene Luft	kg/kg L
z	Höhe; Realfaktor; beim Linde-Verfahren Flüssigkeitsausbeute	m; 1; kg/kg
α	Wärmeübergangszahl; bei Verbrennung Kohlenstoff-Verbrennungsgrad	W/(m²·K); 1
δ	Abgezweigter Dampfanteil bei Speisewasservorwärmung	kg/kg
ε	Verdichtungsverhältnis; bei Kälte auch Leistungsziffer (hier ϵ)	1
ηth, ηC	Thermischer / Carnot-Wirkungsgrad	1
ηK, ηG	Kessel- / Generatorwirkungsgrad	1
ηsT, ηsV	Isentroper Turbinen- / Verdichterwirkungsgrad	1
κ	Adiabatenexponent cₚ/cᵥ; bei feuchter Luft molarer Wassergehalt (hier κw)	1
λ	Luftfaktor L/Lₘ	1
ν	Stickstoffcharakteristik des Brennstoffs	1
ρ	Dichte	kg/m³
σ	Sauerstoffbedarfscharakteristik; beim Verdunsten Verdunstungszahl	1; siehe Modell
τ	Zeit	s
φ	Innere Verdampfungswärme; relative Feuchte; Einspritzverhältnis	Kontextabhängig
χ	Sättigungsgrad feuchter Luft	1
ψ	Äußere Verdampfungswärme	kJ/kg
′ / ″	Siedende Flüssigkeit / trocken gesättigter Dampf; bei Verbrennung ′ auch Ausgangsgemisch	—

Größe	Umrechnung / Beziehung
Energie	1 J = 1 N·m = 1 W·s; 1 kJ = 1000 J
Leistung	1 kW = 1 kJ/s; P = W/Δτ
Druck	1 Pa = 1 N/m²; 1 bar = 100000 Pa = 100 kPa
Normatmosphäre	1 atm ≈ 1,01325 bar ≈ 760 Torr
Technische Atmosphäre	1 at ≈ 0,9807 bar
Weitere Drücke	1 Torr ≈ 133,3 Pa; 1 psi ≈ 6895 Pa
Kilowattstunde	1 kWh = 3600 kJ = 3,6·10⁶ J
Historische Energieeinheiten	1 kcal ≈ 4,186 kJ; 1 kp·m ≈ 9,807 J; 1 BTU ≈ 1,055 kJ
Kraft	1 kp ≈ 9,807 N
Druck-Volumen-Arbeit	1 kPa·m³ = 1 kJ; 1 bar·m³ = 100 kJ
Universelle Gaskonstante	R̄ ≈ 8,314 kJ/(kmol·K)
Spezifische Gaskonstante	R = R̄/M, wenn M in kg/kmol
Temperatur	T/K = t/°C + 273,15; ΔT/K = Δt/°C

Gas	M	R	cₚ	cᵥ	κ
Luft	28,964	287,1	1006	718	1,40
Stickstoff N₂	28,013	296,8	1038	739	1,40
Sauerstoff O₂	31,999	259,8	909	647	1,40
Wasserstoff H₂	2,016	4124,2	14050	9926	1,42
Helium He	4,003	2077,0	5200	3124	1,66
Argon Ar	39,948	208,1	520	309	1,68
Kohlendioxid CO₂	44,010	188,9	816	618	1,32
Kohlenmonoxid CO	28,010	296,8	1038	739	1,40
Methan CH₄	16,043	518,3	2165	1638	1,32

Brennstoff	Bezug	Oberer Heizwert Hₒ	Unterer Heizwert Hᵤ
Kohlenmonoxid CO	m³ₙ	12640	12640
Wasserstoff H₂	m³ₙ	12770	10760
Methan CH₄	m³ₙ	39750	35730
Acetylen C₂H₂	m³ₙ	58030	56020
Ethan C₂H₆	m³ₙ	69650	63620
Kohlenstoff C	kg	33910	33910
Ethanol C₂H₆O	kg	29900	26970
Benzol C₆H₆	kg	41870	40140
n-Oktan C₈H₁₈	kg	47930	44560
Benzin (Skript-Mittelwert)	kg	≈ 46100	≈ 42800
Heizöl (Skript-Mittelwert)	kg	≈ 43000	≈ 41000

Originalseite	Inhalt
A3	Mollier-h-s-Diagramm für Wasser (schiefwinklig; Nullpunktverschiebung beachten)
A4	Mollier-h-x-Diagramm für feuchte Luft bei p = 1 bar
A5–A6	Sättigungszustände von Wasserdampf: Temperaturtafel
A7–A8	Sättigungszustände von Wasserdampf: Drucktafel
A9	lg(p)-h-Diagramm für das im Original verwendete Kältemittel R22